入試問題のポイント（算数）
■点の移動と面積の変化
いろいろな学校で出題されるので、ここでも何度も取り上げてきました。グラフを描き変化の割合を使って解くものがよく出されています。この問題は一般的な面積計算の工夫によって解くものです。考え方を理解するには良い問題です。
■問題
下の図の四角形ＡＢＣＤは，ＡＢ＝２０cm，ＢＣ＝５cm，ＣＤ＝１５cm，ＤＡ＝３０cmで，高さ１２cmの台形です。今，点Ｐが点Ａを出発して，毎秒２．５cmの速さで台形の辺の上をＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄの順に移動していき，Ｄで止まります。このとき，次の各問いに答えなさい。
(1) ２秒後の三角形ＰＡＤの面積を求めなさい。
(2) １４秒後の三角形ＰＡＤの面積を求めなさい。
(3) 点Ｐが点Ａを出発してから点Ｄに到着するのにかかった時間を求めなさい。
(4) 点Ｐが点Ａを出発してからの時間と三角形ＰＡＤの面積の関係をグラフに表しなさい。
■解答
(1) ２秒後には、
毎秒２．５cm×２秒＝５cm
点Ｐは辺ＡＢ上にあり、ＡＰ＝５cmになる位置にあります。
三角形ＡＢＤ、三角形ＰＡＤは、底辺をＡＢ、ＡＰと見たときに高さが等しくなります。
よって、三角形ＡＢＤ、三角形ＰＡＤの面積の比はＡＢ：ＡＰと同じです。
三角形ＡＢＤの面積＝３０cm×１２cm÷２＝１８０ｃm2
ＡＢ：ＡＰ＝２０cm：５cm＝４：１
なので、
三角形ＰＡＤの面積＝１８０ｃm2×＝４５ｃm2
答 ４５ｃm2
(2) １４秒後には、
毎秒２．５cm×１４秒＝３５cm
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤは、２０cm＋５cm＋１５cm＝４０cmあるので、
点Ｐは辺ＣＤ上にあり、ＤＰ＝５cmになる位置にあります。
三角形ＡＣＤ、三角形ＰＡＤは、底辺をＣＤ、ＣＰと見たときに高さが等しくなります。
よって、三角形ＡＢＤ、三角形ＰＡＤの面積の比はＣＤ：ＣＰと同じです。
三角形ＡＣＤの面積＝３０cm×１２cm÷２＝１８０ｃm2
ＣＤ：ＣＰ＝１５cm：５cm＝３：１
なので、
三角形ＰＡＤの面積＝１８０ｃm2×＝６０ｃm2
答 ６０ｃm2
(3) ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤは４０cmあるので、
４０cm÷毎秒２．５cm＝１６秒
答 １６秒
(4) 点Ｐが辺ＢＣ上を動く間は、三角形ＰＡＤで底辺をＡＤと見たときの高さが１２cmで変わりません。
点Ｐが点Ｂに到着するのは、
２０cm÷毎秒２．５cm＝８秒後
点Ｐが点Ｃに到着するのは、
８秒＋５cm÷毎秒２．５cm＝１０秒後
この間の面積は、
３０cm×１２cm÷２＝１８０ｃm2
これらを使ってグラフを描きます。
答
