算数


    「相似な三角形の辺の長さと面積」

    このタイプの問題は中学入試で最も出題の多いもののひとつです。いろいろな
    図形の組み合わせで出題されています。
    以下の問題は最もオーソドックスな「平行線で三角形を分ける問題」なので、
    練習問題に使っても良いものです。


<問題>

 次の図においてDEとBCが平行であるとき、次の問に答えなさい。



(1) ADの長さを求めなさい。

(2) BCの長さを求めなさい。

(3) 三角形ADGと台形GFCEの面積を最も簡単な比で表しなさい。












<解答>

(1) 2つの三角形ABFとADGの相似を利用するのがテキストなどでは一般的ですが、
  以下の考え方の方がミスなくできます。

  次のように、点Dから線分AFに平行な線分DHを引きます。


  2つの三角形DBHとADGが相似で、その相似比は、

   BH:DG=(7−4):4=3:4

  これより、

   AD=DB×=6cm×=8cm

                                    答 8cm


(2) 2つの三角形ABCとADEが相似です。


  その相似比は、

   AB:AD=(8+6):8=7:4

  これより、

   BC=DE×=(4+5)×=15cm

                                    答 15cm


(3) 2つの三角形ADGとAGEは高さが等しいので、面積比は底辺の比と同じです。

   DG:GE=4:5

  2つの三角形AFCとAGEは相似なので、面積比は相似比(7:4)の2乗の比です。

   (7×7):(4×4)=49:16

  これより、三角形AGEと台形GFCEの面積比は、

   16:(49−16)=16:33


  次のように連比を作って、

   三角形ADG:三角形AGE:台形GFCE

      4  :   5
            16  :  33
    
     64  :  80  : 165

  三角形ADGと台形GFCEの面積比は、

   64:165

                                答 64:165
  

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