算数


     「街灯によってできる影」

    相似の応用問題のひとつ「影の問題」は太陽の光の場合と電灯の光の場合では考え方が少
    し異なります。電灯の光の場合、電灯を頂点とする三角錐を考えることが必要になる場合
    があります。その場合、きちんと図を書いて考えることが大切です。


<問題>
次の各問いに答えなさい。
(1) 高さが5mの街灯から3m離れた地点に2mの棒が垂直に立てられています。
  このとき、棒の影の長さを求めなさい。





(2) 2mの棒のかわりに1辺が2mの正方形の看板が立てられています。
  このとき、影の面積を求めなさい。















<解答>

(1) 影の問題は適切な三角形をの相似を考えると解くことができます。
  次の図のように真横から見た図を考えるます。□mが影の長さにあたります。


 
  赤い三角形と水色の青い三角形は相似なので、
   □:2=3:(5−2)
   □=2×3÷(5−2)=2m

                               答 2m


(2) 次の図のような三角錐を考えて、台形BEFCの面積を求めます。



 三角形OEPと三角形AEBが相似で、
 その相似比は、
 OP:ABで求めて、5:2

 よって、 
  
 OE:AE=5:2…(a)

 また、三角形OADと三角形OEFも相似で、
 その相似比は、(a) を利用して
 OA:OE=(OE−AE):OE=3:5

 よって、
 AD:EF=3:5
 EF=AD×5÷3=3

 また、高さQRは(1) で求めた影の長さと同じです。

 台形BEFCの面積=(BC+EF)×QR÷2
           =(2+3)×2÷2
           =5cm2

                               答 5cm2

 *他にもいくつか計算法がありますが、いずれも相似を利用してEFの長さを求める必
  要があります。

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