＜問題＞
次の図のように１段目に１個、２段目に３個、３段目に５個、……となるように自然数
を順に並べました。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) 上から１０段目の１番左の数はいくつですか。
(2) ２３０は上から何段目で左から何番目ですか。
(3) １から下へ各段の真ん中の数を順に見ていきます。たとえば、２段目は３で、３段目
は７です。１００段目の数が９９０１のとき、１０１段目の数はいくつですか。
＜解答＞
(1) 各段の１番右の数を見るとすべて平方数になっています。
１段目 １×１＝ １
２段目 ２×２＝ ４
３段目 ３×３＝ ９
４段目 ４×４＝１６
１０段目の１番左の数は９段目の１番右の数に１を加えたものなので、
９×９＋１＝８２
答 ８２
(2) １０段目から下の段で各段の１番右の数を考えます。
１０段目 １０×１０＝１００
１１段目 １１×１１＝１２１
１２段目 １２×１２＝１４４
１３段目 １３×１３＝１６９
１４段目 １４×１４＝１９６
１５段目 １５×１５＝２２５
１６段目 １６×１６＝２５６
２３０は２２６以上２５６以下の範囲に入るので上から１６段目の数です。
上から１６段目の数を左から順に書いていくと、
２２６、２２７、２２８、２２９、２３０、…
よって、２３０は上から１６段目で左から５番目の数だとわかります。
答 上から１６段目で左から５番目
(3) 「１０１段めの真ん中の数は何か」という問いになるのが一般的なので、２つの解法
を示します。
解法１）９９０１を使わないで解きます。
等差数列では「真ん中の数＝両端の数の和÷２」が成り立つことを利用して、
１０１段目の１番左の数 １００×１００＋１＝１０００１
１０１段目の１番右の数 １０１×１０１＝１０２０１
１０１段目の真ん中の数 （１０００１＋１０２０１）÷２＝１０１０１
解法２）問題に即して９９０１を使って解きます。
各段の真ん中の数どうしで差を考えると、
２段目と１段目の差 ３−１＝２＝１×２
３段目と２段目の差 ７−３＝４＝２×２
４段目と３段目の差 １３−７＝６＝３×２
差はいつも上の段の数の２倍だとわかります。
１０１段目の真ん中の数 ９９０１＋（１０１−１）×２＝１０１０１
答 １０１０１