算数


    「四角錐の体積・切断面の面積」

    立体図形の問題のうち切断面や展開図を考える問題では平面図形の相似や面積比の考え方
    を用いる場合が一般的です。この問題でも設問2で三角形の面積比の考え方を用いていま
    す。

<問題>

 図の四角すいP−ABCDは底面が正方形で、その対角線の交点をHとするとき、AC
=BD=PH=8cmです。PBの真ん中の点をM、PDの真ん中の点をNとし、この四角
すいを、3点A、M、Nを通る平面で切ったとき、その平面とPCとの交点をQとします。




 このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 四角すいP−ABCDの体積を求めなさい。


(2) △PAQの面積を求めなさい。















<解答>

(1) この四角錐P−ABCDは、

   底面積=8×8×=32cm2

   高さ=8cm

  よって、

   体積=32×8×=85cm3


                               答 85cm3


(2) 下図のように三角形PABについて考え、三角形APQが三角形ACPの何倍の
  面積になるかを考えます。





  三角形APRと三角形CPRとの面積比はAH:CHの比と同じです。

   三角形APR:三角形CPR=AH:CH=1:1

  三角形ACRと三角形ACPとの面積比はRH:PHの比と同じです。

   三角形ACR:三角形ACP=RH:PH=1:2

  よって、

   三角形ACR:(三角形APR+三角形CPR)=1:1

  これらの比から、 

   三角形APR:三角形CPR:三角形ACR=1:1:2

  次に、PQ:CQを求めます。 

   PQ:CQ=三角形APR:三角形ACR=1:2

  これから、三角形APQが三角形ACPの面積のだとわかります。

   三角形APQの面積=三角形ACPの面積×

            =(8×8×)×

            =10cm2


                               答 10cm2


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