算数


    「テープの上にひし形を貼り付ける問題」

    植木算や等差数列の考え方を使う問題は、規則性の問題の中では最も一般的な問題です。
    この問題は中堅レベルの学校の練習問題としても適切なものです。


<問題>

 次の図のように,たて8cmの長方形の白いテープの上に,2つの対角線の長さが8cm,
15cmのひし形の赤い紙をはります。ひし形の上下の頂点はテープの上下の辺に合わせ,左
はしのひし形の頂点と右はしのひし形の頂点はテープのたてのまん中の点にあわせ,同じ
長さずつずらして真横に並べてはります。

 下の図1,図2はそれぞれ10枚,11枚のひし形をはり合わせた図で,2つの頂点A,B
の間の長さと2つの頂点C,Dの間の長さの差は5mmでした。

 このとき,次の各問いに答えなさい。

(1) テープの横の長さは何cmですか。


(2) 16枚のひし形を同じようにはったとき, テープの白い部分全体の面積は何cm2になり
  ますか。















<解答>


(1) 植木算の考え方を用いると、全体の長さは、

   図1の場合、ABの長さ×(10−1)+15cm=ABの長さ×9+15cm
            
   図2の場合、CDの長さ×(11−1)+15cm=CDの長さ×10+15cm

  両方を比べると、

  ABの長さ×9=CDの長さ×10

  これから、

  ABの長さ:CDの長さ=10:9

  2つの長さの差が5mmなので、

  ABの長さ=0.5cm×=5cm

  全体の長さは、

  5cm×9+15cm=60cm

                               答 60cm


(2) 先にひし形の紙におおわれた部分の面積を求めます。そのためには、次の図の赤い六
  角形の面積を求める必要があります。 
  
  上の図でEFの長さは、

  (60cm−15cm)÷(16−1)=3cm

  元のひし形と緑のひし形が相似であることに目をつけると、

   相似比は、 15cm:(15cm−3cm)=5:4

   面積比は、 (5×5):(4×4)=25:16

  元のひし形の面積は、

  8cm×15cm÷2=60cm2

  赤い六角形の面積は、

  60cm2×cm2

    ひし形の紙におおわれた部分の面積は、

  cm2×(16−1)+60cm2=384cm2

  白い部分の面積は、

  8cm×60cm−384cm2=96cm2

                                答 96cm2

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