＜問題＞
次の＜図１＞で点Ａから，次のようなルールにしたがって点が動いています。
【ルール】 ①Ａを出発するとき，自分で決めた点数を持っています。 ②点数が偶数のときには右に１目もり動きます。そのとき，持っている点数は半分に なります。 ③点数が奇数のときは上に１目もり動きます。そのとき，持っている点数は１をたし てから２で割った点数になります。 ④点数が１点になったら終わりです。 |
たとえば，はじめの点数が２０点のとき，点数の変化は２０→１０→５→３→２→１と
なって，上の＜図１＞の点Ｂに到着します。
次の問いに答えなさい。
(1) はじめの点数が４２点のとき，到着するまでの道順を＜図１＞にならって矢印で示し
なさい。
(2) ＜図２＞のような道を通って点Ｃに到着したときの，はじめの点数を求めなさい。
(3) ＜図２＞の点Ｄに到着したとき，点Ｅは通ることができない点です。通ることができ
ない残りのすべての点を，○で囲みなさい。
(4) 出発してから到着するまでに３目もり動いたとき，はじめの点数は何点以上何点以下
でしたか。
(5) ＜図２＞の点Ｆに到着したとき，はじめの点数は何通りの場合が考えられますか。
また，そのとき考えられる最も小さい点数と最も大きい点数を求めなさい（式や考え
方も書きなさい)。
＜解答＞
(1) 実際に計算して決めていきます。
４２ →
４２÷２＝２１ ↑
（２１＋１）÷２＝１１ ↑
（１１＋１）÷２＝６ →
６÷２＝３ ↑
（３＋１）÷２＝２ →
２÷２＝１ 終
これを図に表すと次のようになります。
(2) 逆に計算していきます。
移動を逆に考えると、
ア：左方向に戻った数を求めるには、わかっている数を２倍する
イ：下方向に戻った数を求めるには、わかっている数を２倍して１を引く
これから、
１×２＝２
２×２＝４
４×２－１＝７
７×２＝１４
１４×２－１＝２７
２７×２＝５４
答 ５４点(3) 条件から、Ｄの左隣は２に決まります。
移動を逆に考えると、もとが１以外ならば (2)のアとイのどちらの方法も可能です。
よって、答は次のようになります。
(4) 上のように最後の計算は、必ず「２÷２＝１」に決まります。
もとの数を求める作業では、上の(２)のアの方が数が大きくなり、イの方が小さくな
ります。
２から逆に残る２つの動きを考えて、
みなアの場合、 ２×２＝４
４×２＝８
みなイの場合、 ２×２－１＝３
３×２－１＝５
よって、はじめの点数は、５以上８以下だとわかります。
答 ５以上８以下
(5) Ｆの左隣の２から考えると、Ａの位置に戻るのには、アを２度、イを３度行う必要が
あります。
また、アとイの並び方がちがうとできる数が異なります。
全部で５度の作業のうち、イの作業２度が何度目に入るかを考えて数えることができ
ます。組み合わせの考え方を使って求めることができます。
５×４÷２＝１０
最初の点数は１０通りです。
また、ア・イを１度ずつ行う場合でも、アを先に行う方が数が大きくなります。
ア→イの順 ２×２＝４、４×２－１＝７
イ→アの順 ２×２－１＝３、３×２＝６
これから考えて、
最大の点数 ２×２＝４
４×２＝８
８×２－１＝１５
１５×２－１＝２９
２９×２－１＝５７
最小の点数 ２×２－１＝３
３×２－１＝５
５×２－１＝９
９×２＝１８
１８×２＝３６
答 １０通り、最大の数：５７、最小の数：３６