算数


    「円錐と円錐台の表面積」

    相似な立体を考える問題では,円錐を底面に平行に切ったものを使うものが最も多く出さ
    れます。一般的には円錐と円錐台の体積比を考える設問が出されますが,次の問題のよう
    に表面積を考えるものもあります。

<問題>

 図のように,円すいを切って,2つの立体ア,イに分けるとき,次の各問いに答えなさ
い。ただし,円周率は3.14とします。
    
(1) 立体アの太線の部分の長さは何cmですか


(2) 立体アの表面積は何cm2ですか。


(3) 立体アと立体イの表面積の比を求めなさい。















<解答>

(1) 次の図で赤い部分は直角三角形です。

    

  この図の直角三角形は3辺の長さの比が3:4:5のものです。

  これより,図の太線の部分はの長さは5cmです。

                              答 5cm

  *直角三角形の辺の比のうち,3つとも整数になるものを「ピタゴラス数」と呼びま
   す。入試問題を作成する時に参考して作ることが多いので,それらのうちで以下の
   組み合わせは覚えておくと良いでしょう。

  (3:4:5),(5:12:13),(7:24:25),(8:15:17)


(2) 立体アは円錐です。

  「円錐の側面積=底面の半径×母線×円周率」を用いて考えます。

  立体アの表面積は,

   底面積+側面積=3×3×3.14+3×5×3.14
          =(9+15)×3.14
          =24×3.14
          =75.36cm2

                              答 75.36cm2


(3) 立体イの展開図を考えると,次のようになります。

    

  側面に当たる赤い面は,もとの円錐の側面から立体アの側面を除いたものです。

   側面積=9×(5+10)×3.14−3×5×3.14
      =(135−15)×3.14
      =120×3.14

   表面積=上の底面積+下の底面積+側面積
      =3×3×3.14+9×9×3.14+120×3.14
      =(9+81+120)×3.14
      =210×3.14

  立体アと立体イの表面積の比は,

   (24×3.14):(210×3.14)=24:210
                       =4:35

                              答 4:35

  *すべて3.14かけて求めるので,最初から3.14を消して考えても良いでしょ
   う。

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