算数


    「条件を整理して考える問題」

    場合の数や規則性に関する問題など、与えられた方法や例を基に考える問題はよく出され
    ます。特に難関校では必ず出され配点も大きくなります。多くの問題を解いて慣れておき
    ましょう。

<問題>

 トランプの13枚のクラブ()のカードを使って,4人で次のようなゲームをします。
 「この13枚のカードから4人が同時に1枚ずつカードを取り出し,ある人の得点を他
の3人の選んだカードの数の合計とする。」
 ただし,エース(A)は1点,絵札のジャック(J),クィーン(Q),キング(K)
はそれぞれ11点,12点,13点として計算し,得点の多い方から順に1位,2位,3
位,4位の順位をつけます。
 たとえば,4人の取り出したカードがエース,3,5,7のとき,1位から4位までの
得点表は右のようになります。次の問いに答えなさい。

順位

1位

2位

3位

4位

得点

15

13

11

9

(1) 1位の人の得点が25点で3位の人が絵札を取り出したとき,3位の人の得点は何点
 でしたか。


(2) 1位,2位,3位の人の得点が次のようであったとき、1位の人が取り出したカード
 の数は何でしたか。また。4位の人の得点は何点でしたか。

順位

1位

2位

3位

4位

得点

31

28

25



(3)4人の誰もがエースを取り出さず,1位の人の得点が15点であったとき,2位,3
 位,4位の人の得点はそれぞれ何点になりますか。考えられるすべての場合を次の得点
 表に書きなさい。ただし、次の表は全部使うとは限りません。

順位

1位

2位

3位

4位

得点

15

 

 

 


順位

1位

2位

3位

4位

得点

15

 

 

 


順位

1位

2位

3位

4位

得点

15

 

 

 


順位

1位

2位

3位

4位

得点

15

 

 

 


順位

1位

2位

3位

4位

得点

15

 

 

 
















(解答)

*満たさなくてはならない条件を書き出しておくと確認しやすくなります。他にもいくつ
 か条件を考えることができます。以下の解法はその1例です。他にも目を付けるところ
 が違う解法が何通りもあります。

(1) カードの数を大きい順にA、B、C、Dとすると、

   1位の得点=A+B+C
   2位の得点=A+B+D
   3位の得点=A+C+D
   4位の得点=B+C+D

  になります。

  この問題で考えなくてはならない条件は、

   1.取り出したカードの数のうち、最小のD以外の3数の和25である
   2.取り出したカードの数のうち、大きい方から2番目のBは11以上である

  2の条件を満たすので、少なくともAとBは絵札の点です。

   ア)A=13、B=12の場合、
      C=25−(13+12)=0 となり、不適当。

   イ)A=13、B=11の場合、
      C=25−(13+11)=1、D=0 となり、不適当。

   ウ)A=12、B=11の場合、
      C=25−(12+11)=2、D=1

  よって3位の人の得点は、

   A+C+D=12+2+1=15

                              答 15点


(2) A+B+C=31、A+B+D=28、A+C+D=25 がわかっています。
  
  これらを比較すると、
  
  CはDより3だけ大きい、BはCより3だけ大きい の2つのことがわかります。

   ア)B=7、C=4、D=1の場合
     A=31−(7+4)=20 で、Aが13より大きく不適当。

   イ)B=8、C=5、D=2の場合
     A=31−(8+5)=18 で、Aが13より大きく不適当。

   ウ)B=9、C=6、D=3の場合
     A=31−(9+6)=16 で、Aが13より大きく不適当。

   エ)B=10、C=7、D=4の場合
     A=31−(10+7)=14 で、Aが13より大きく不適当。

   オ)B=11、C=8、D=5の場合
     A=31−(11+8)=12 

   カ)B=12、C=9、D=6の場合
     A=31−(12+9)=11 で、AがBより小さく不適当。
     
  よって、

   1位の人が取り出したカードは5

   4位の人の得点は、11+8+5=24点

           答 1位の人が取り出したカード:5、4位の人の得点:24点


(3) A+B+C=15、Dは2以上 がわかります。

  D=2から条件にあうものを書き抜いていきます。

   ア)D=2、C=3、B=4 ならば、A=8

     1位:15点 2位:14点 3位:13点 4位:9点

   イ)D=2、C=3、B=5 ならば、A=7

     1位:15点 2位:14点 3位:12点 4位:10点     

   ウ)D=2、C=3、B=6 ならば、A=6 不適当

   エ)D=2、C=4、B=5 ならば、A=6

     1位:15点 2位:13点 3位:12点 4位:11点

   オ)D=2、C=4、B=6 ならば、A=5 不適当

   カ)D=2、C=5、B=6 ならば、A=4 不適当

  以下、C=2のときはすべて不適当

   キ)D=3、C=4、B=5 ならば、A=6

     1位:15点 2位:14点 3位:13点 4位:12点

   ク)D=3、C=4、B=6 ならば、A=5 不適当

   ケ)D=3、C=5、B=6 ならば、A=4 不適当

  以下、C=3のときはすべて不適当

   コ)D=4、C=5、B=6 ならば、A=4 不適当

  以下、C=4のときはすべて不適当

答は次の通り4つです。

順位

1位

2位

3位

4位

得点

15

14

13

9


順位

1位

2位

3位

4位

得点

15

14

12

10


順位

1位

2位

3位

4位

得点

15

13

12

11


順位

1位

2位

3位

4位

得点

15

14

13

12


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