＜問題＞
２種類の円柱Ａ，Ｂがあり，円柱Ａは底面の半径が２０cm，高さが１cmで，円柱Ｂは底
面の半径が１０cm，高さが２cmです。次の約束に従って，この２種類の円柱を積み上げて
立体を作ります。
（約束１）円柱は底面どうしを重ねて，立体が倒れないように積み上げます。
（約束２）同じ種類の円柱を重ねるときは，互いの底面がずれないように積みます。
（約束３）違う種類の円柱を重ねるときは，円柱Ｂが円柱Ａからはみ出さないように積み
ます。
このとき。次の問いに答えなさい。
(1)
次の図は円柱Ａを５個、円柱Ｂを４個使って作った立体を真横から見たものです。こ
の立体の体積と表面積をそれぞれ求めなさい。ただし，方眼紙の１目盛りは横が４cm，
縦が１cmを表しているものとします。
(2)
円柱Ａを５個，円柱Ｂを４個使って，表面積が最も小さい立体を作りました。この立
体の表面積を求めなさい。
(3)
円柱Ａも円柱Ｂも必ず１個は使って，体積が9420ｃm3の立体を作ります。表面積が最
も大きくなるように作るとき，Ａ，Ｂはそれぞれ何個使いますか。また，そのときの表
面積を求めなさい。さらに，このような立体の真横から見た図を１つ，次の方眼紙にか
きなさい。ただし，方眼紙の１目盛りは横が４cm，縦が１cmを表しているものとします。
＜解答＞
どのように重ねても側面の面積は同じです。底面が他の円柱と重なることで隠されてし
まうことがポイントです。
予め必要な面積や体積を求めておきましょう。
円柱Ａの側面積＝２０×２×３．１４×１＝１２５．６ｃm2
円柱Ｂの側面積＝１０×２×３．１４×２＝１２５．６ｃm2
円柱Ａ，Ｂの側面積は等しいことがわかります。
また、
円柱Ａの底面積＝２０×２０×３．１４＝１２５６ｃm2
円柱Ｂの底面積＝１０×１０×３．１４＝３１４ｃm2
Ａ、Ｂ２つの円柱を重ねても隠れない部分の面積＝１２５６−３１４＝９４２ｃm2
さらに、
円柱Ａの体積＝１２５６×１＝１２５６ｃm3
円柱Ｂの体積＝３１４×２＝６２８ｃm3
(1)
体積はかんたんに求めることができます。
円柱Ａの体積×５＋円柱Ｂの体積×４
＝１２５６×５＋６２８×４
＝６２８０＋２５１２
＝８７９２ｃm3
次に表面積を求めます。
側面の面積の合計
＝円柱Ａの側面積×５＋円柱Ｂの側面積×４
＝１２５．６×９
＝１１３０．４ｃm2
図からＡ、Ｂが接しているところ（赤線）が６カ所あるので、
底面の面積の合計
＝１２５６×２＋９４２×６
＝２５１２＋５６５２
＝８１６４ｃm2
これらから表面積は、
１１３０．４＋８１６４＝９２９４．４ｃm2
答 体積：８７９２ｃm3 表面積：９２９４．４ｃm2
(2)
同じ種類の円柱が接している場合が多いほど、表面積は小さくなります。
円柱Ａを５個重ねた円柱と円柱Ｂを４個重ねた円柱で考えると、
側面の面積の合計＝１２５．６×９
＝１１３０．４ｃm2
Ａ、Ｂが接しているところが１カ所あるので、
底面の面積の合計
＝１２５６＋３１４＋９４２
＝２５１２ｃm2
これらから表面積は、
１１３０．４＋２５１２＝３６４２．４ｃm2
答 ３６４２．４ｃm2
(3)
２種類の円柱で体積が９４２０ｃm2を作ることができるときを考えます。
９４２０÷１２５６＝７あまり６２８ なので、
Ａ７個とＢ１個、Ａ６個とＢ３個、Ａ５個とＢ５個、Ａ４個とＢ７個、
Ａ３個とＢ９個、Ａ２個とＢ１１個、Ａ１個とＢ１３個
が考えられます。
次の２つの事がらを考えながら、それぞれの組で表面積が最大になるもの考えます。
側面積の和は円柱の合計数に比例して大きくなる
底面積の和は同じ種類の円柱が接する所が少ないほど大きくなる
○Ａ７個とＢ１個の場合
側面積の和＝１２５．６×８＝１００４．８ｃm2
底面積の和＝１２５６×２＋９４２×２＝４３９６ｃm2
表面積＝１００４．８＋４３９６＝５４００．８ｃm2
○Ａ６個とＢ３個の場合
側面積の和＝１２５．６×９＝１１３０．４ｃm2
底面積の和＝１２５６×２＋９４２×６＝８１６４ｃm2
表面積＝１１３０．４＋８１６４＝９２９４．４ｃm2
○Ａ５個とＢ５個の場合
側面積の和＝１２５．６×１０＝１２５６ｃm2
底面積の和＝１２５６＋３１４＋９４２×９＝１００４８ｃm2
表面積＝１２５６＋１００４８＝１１３０４ｃm2
○Ａ４個とＢ７個
側面積の和＝１２５．６×１１＝１３８１．６ｃm2
底面積の和＝３１４×２＋９４２×８＝８２１２ｃm2
表面積＝１３１８．６＋８２１２＝９５９３．６ｃm2
これ以降は底面積の和の減り方が側面積の和の増え方より大きくなるので、表面積が
どんどん小さくなります。
答 Ａ５個とＢ５個、表面積：１１３０４ｃm2、図は下
