＜問題＞

　図のような１辺の長さが５cmの正方形を組み合わせて作った回路に１〜９までの地点と，
回路上を下の規則にしたがって一定の速さで移動する４つの点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがあります。
最初，４つの点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄはそれぞれ地点３，７，１，９にあり，そこからいっせい
に動き始めます。

　　　　

(規則)
　点Ａは，４秒かかって３→２→５→６→３と１周し，この移動をくりかえします。
　点Ｂは，８秒かかって７→８→５→４→７と１周し，この移動をくりかえします。
　点Ｃは，１２秒かかって１→２→５→４→１と１周し，この移動をくりかえします。
　点Ｄは，２０秒かかって９→８→５→６→９と１周し，この移動をくりかえします。

いま，４つの点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄについて，直線ＡＣ，直線ＡＤ，直線ＢＣ，直線ＢＤとで
囲まれた部分の面積を考えます。ただし，２つの点が重なった場合，その２点をむすぶ直
線は考えません（例えば，点Ｂと点Ｄが重なった場合は直線ＢＤは考えません）。

このとき，次の問いに答えなさい。

(1) 点が動き出してから，５秒後の面積を求めなさい。

(2) 点が動き出してから，１１９秒後の面積を求めなさい。

(3) 点が動き出してから，はじめて４つの点のうちの２つの点が重なった瞬間の面積を求
　　めなさい。















＜解答＞

　まず、周期的に移動する各点の位置を確認しておくと良いでしょう。

　　点Ａ　　０秒など４で割り切れる秒数のとき………………３
　　　　　　１秒など４で割ると１余る秒数のとき……………２
　　　　　　２秒など４で割ると２余る秒数のとき……………５
　　　　　　３秒など４で割ると３余る秒数のとき……………６

　　点Ｂ　　０秒など８で割り切れる秒数のとき………………７
　　　　　　２秒など８で割ると２余る秒数のとき……………８
　　　　　　４秒など８で割ると４余る秒数のとき……………５
　　　　　　６秒など８で割ると６余る秒数のとき……………４

　　点Ｃ　　０秒など１２で割り切れる秒数のとき……………１
　　　　　　３秒など１２で割ると３余る秒数のとき…………２
　　　　　　６秒など１２で割ると６余る秒数のとき…………５
　　　　　　９秒など１２で割ると９余る秒数のとき…………４

　　点Ｄ　　０秒など２０で割り切れる秒数のとき……………９
　　　　　　５秒など２０で割ると５余る秒数のとき…………８
　　　　　１０秒など２０で割ると１０余る秒数のとき………５
　　　　　１５秒など２０で割ると１５余る秒数のとき………６


(1) ５秒後の各点の位置は、

　　　点Ａは２
　　　点Ｂは５・４間の真ん中
　　　点Ｃは２から２・５間のだけ進んだところ
　　　点Ｄが８

　　　　

　　上の図で緑の三角形ＢＣＤの面積を求めます。

　　　（５＋５×）×（５×）×＝８ｃm2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　８ｃm2


(2) １１９秒後の各点の位置は、

　　　点Ａは６
　　　点Ｂは４・７間の真ん中
　　　点Ｃは４から４・１間のだけ進んだところ
　　　点Ｄは６から６・９間の５分の４だけ進んだところ

　　　　

　　上の図で緑の四角形ＡＣＢＤの面積を求めます。

　　　｛（５×２分の１＋５×３分の２）＋５×｝×１０×
　　　＝４９ｃm2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　４９ｃm2


(3) ４点のうち２点が重なるのが何秒後か考えます。２つの点の動きは両方の周期の最小
　　公倍数にまでで考えます。

　　ア）ＡとＢは５で重なる可能性があります。４と８の最小公倍数である８秒後までに
　　　　２つの点が５にいるのは、

　　　　　Ａ点　　２秒後、６秒後

　　　　　Ｂ点　　４秒後

　　　　重なることは全くありません。

　　イ）ＡとＣは２・５間で重なる可能性があります。４と１２の最小公倍数である１２
　　　　秒までに、２つの点が２・５間にいるのは、

　　　　　Ａ点　　１〜２秒後、５〜６秒後、９から１０秒後

　　　　　Ｃ点　　３〜６秒後

　　　　６秒後に初めて５で重なります。

　　ウ）ＡとＤは５・６間で重なる可能性があります。４と２０の最小公倍数である２０
　　　　秒後までに、２つの点が５・６間にいるのは、

　　　　　Ａ点　　２〜３秒後、６〜７秒後、１０〜１１秒後、１４〜１５秒後、
　　　　　　　　１８〜１９秒後

　　　　　Ｄ点　１０〜１５秒後

　　　　１０秒後に初めて５で重なります。

　　エ）ＢとＣは５・４間で重なる可能性があります。８と１２の最小公倍数である
　　　　２４秒後までに２つの点が５・４間ににいるのは、

　　　　　Ｂ点　　４〜６秒後、１２〜１４秒後、２０〜２２秒後

　　　　　Ｃ点　　６〜９秒後、１８〜２１秒後

　　　　重なることは全くありません。

　　オ）ＢとＤは８・５間で重なる可能性があります。８と２０の最小公倍数である４０
　　　　秒後までに、２つの点が８・５間にいるのは、

　　　　　Ｂ点　　２〜４秒後、１０〜１２秒後、１８〜２０秒後、２６〜２８秒後、
　　　　　　　　３４〜３６秒後

　　　　　Ｄ点　　５〜１０秒後、２５〜３０秒後

　　　　２６〜２８秒後の間の初めて重なります。

　　キ）ＣとＤは５で重なる可能性があります。１２と２０の最小公倍数である６０秒ま
　　　　でに、２つの点が５にいるのは、

　　　　　Ｃ点　　６秒後、１８秒後、３０秒後、４２秒後、５４秒後

　　　　　Ｄ点　１０秒後、３０秒後、５０秒後

　　　　３０秒後に初めて５で重なります。

　　よって、６秒後の図形の面積を求めます。

　　　　

　　上の図で緑の三角形ＡＢＤの面積を求めます。

　　　　５×（５×）×＝１０ｃm2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　１０ｃm2