＜問題＞

　ある花火大会では，Ａ，Ｂ，Ｃ３種類の花火を打ち上げます。１回目の３種類同時打ち
上げは午後７時に行われ，その後はＡは６秒ごと，Ｂは１０秒ごと，Ｃは２２秒ごとに打
ち上げられます。

(1) ２回目の３種類同時打ち上げの時刻を求めなさい。途中の式も書きなさい。


(2) 何回目かの３種類同時打ち上げの直後，Ｃの花火だけが１４秒ごとの打ち上げに変わ
　　りました。すると２１回目の３種類同時打ち上げが，午後８時３８分となりました。
　　Ｃの花火の打ち上げ間隔が変わった時刻を求めなさい。途中の式も書きなさい。


(3) (２)で求めた時刻までに打ち上げられたＡ，Ｂ，Ｃすべての花火のうち，単独で打ち
　　上げられた花火は全部でいくつありますか。途中の式も書きなさい。















＜解答＞

(1) Ａは６秒ごと，Ｂは１０秒ごと，Ｃは２２秒ごとに打ち上げれられるので，それらの
　　最小公倍数の秒数間隔で同じ状態を繰り返します。

　　
　　　２×３×５×１１＝３３０

　　　３３０秒＝５分３０秒

　　よって，

　　　７時＋５分３０秒＝７時５分３０秒

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　午後７時５分（午後７時５分３０秒）


(2) 変更後には，Ａは６秒ごと，Ｂは１０秒ごと，Ｃは１４秒ごとに打ち上げれられるの
　　で，それらの最小公倍数の秒数間隔で同じ状態を繰り返します。

　　
　　　２×３×５×７＝２１０秒

　　３３０秒間隔と２１０秒間隔とがあわせて２０回，合計時間１時間２８分になること
　　をつるかめ算を用いて解きます。

　　３３０秒＝５分，２１０秒＝３分，１時間２８分＝８８分なので，

　　　（９８−３×２０）÷（５−３）＝１４

　　５分間隔が１４回あった後に３分間隔に変わったことがわかります。

　　　５分×１４＝７７分＝１時間１７分

　　　７時＋１時間１７分＝８時１７分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　午後８時１７分


(3) ３３０秒の間の打ち上げ方のようすを調べます。

　　花火Ａについて，３３０秒間の打ち上げは最初の１回を除き，

　　　３３０÷６＝５５回

　　うち，Ｂと同時に打ち上げられるのは，６と１０の最小公倍数が３０なので，

　　　３３０÷３０＝１１回

　　うち，Ｃと同時に打ち上げられるのは，６と２２の最小公倍数が６６なので，

　　　３３０÷６６＝５回

　　さらに，３つの花火が同時に打ち上げられる１回を考えると，花火Ａが単独で打ち上
　　げられるのは，

　　　５５−（１１＋５−１）＝４０回

　　同様に，花火Ｂが単独で打ち上げられるのは，

　　　３３−（１１＋３−１）＝２０回

　　同様に，花火Ｃが単独で打ち上げられるのは，

　　　１５−（５＋３−１）＝８回

　　３３０秒間で単独で打ち上げられる回数は，

　　　４０＋２０＋８＝６８回

　　これが１４度繰り返されるので，

　　　６８×１４＝９５２回

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　９５２回

　　＊３つの集合が重なるベン図を用いて整理して解く方法もあります。