算数


    「棒を使ってできる正三角形や正方形の個数」

    数の性質を使った規則性や場合の数の問題はいろいろなものが出されます。この問題の場
    合,一見すると図形の問題のように見えます。この種の問題には「慣れ」が必要なので,
    問題集で多くの問題を解きましょう。

<問題>

 長さ3cmの棒が何本かあります。これらの棒を使って,正三角形や正方形を作ります。
棒を折ったり曲げたり一部分を使ったりすることはできません。また,どの図形もくっつ
いたり,重なったりしません。
 たとえば,6本の棒で正三角形を作るとすると,一辺の長さが6cmの正三角形を1個作
る作り方と,一辺の長さが3cmの正三角形を2個作る作り方の2通りあります。

 次の問いに答えなさい。

(1) 12本の棒を全部使って正三角形だけを作る作り方は何通りありますか。


(2) 19本の棒を全部使って正三角形と正方形を作る作り方は何通りありますか。















<解答>

(1) 1辺に使う本数の3倍の本数が正三角形を1個作るのに必要です。よって正三角形を
  1個作るには必ず「3の倍数」本の棒を使うことがわかります。

   

  上の図では,1辺の棒の数が2本なので,2×3=6本使っています。 

  そこで,12をいくつかの3の倍数の和に直して数えることにします。

  12以下の3の倍数は3,6,9,12なので,大きい方から決めていくと,

    12=12
    12=9+3
    12=6+6
    12=6+3+3
    12=3+3+3+3

  よって,5通りです。

                              答 5通り


(2) 正三角形と同様に考えると,正方形を1個作るのに必要な棒は「4の倍数」本です。

  よって,19をいくつかの3または4の倍数の和に直して数えることにします。

  19以下の3または4の倍数は3,4,6,8,9,12,15,16,18なので
  大きい方から決めていくと,

    19=16+3
    19=15+4
    19=12(*)+4+3
    19=9+6+4
    19=9+4+3+3
    19=8+8+3
    19=8+4+4+3
    19=6+6+4+3
    19=6+4+3+3+3
    19=4+4+4+4+3
    19=4+3+3+3+3+3

  以上のように11通りできますが,このうちで*をつけた12は正三角形と正方形ど
  ちらでもできる数なので,19=12(*)+4+3は2通りあると考える必要があ
  ります。

                              答 12通り


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