算数


    「点の移動と面積変化」

    動点の問題のうち,最もよく出されるのが目席変化の問題です。グラフの使い方を考えさ
    せる問題として出されるので,変化の割合の考え方を使って正確に計算できるように勉強
    しておきましょう。

<問題>

 下の図のような1辺の長さが10cmの正方形ABCDがあり,点Eは辺CDの真ん中の
点です。いま,点Pが毎秒lcmの速さでAを出発し,A→D→C→B→Aの順に動くとき,
三角形APEの面積について考えます。
 このとき,次の問いに答えなさい。

(1) 右下のグラフは,三角形APEの面積の変化を表したものの一部です。残りのグラフ
  を完成させなさい。


(2) 三角形APEの面積が12cm2になるのは,点PがAを出発してから何秒後ですか。
  すべて求めなさい。途中の式も書くこと。


 















<解答>

(1) 点Pが辺AD上を動くとき、三角形APEはAPを底辺、EDを高さとする三角形と
  考えられます。この間は面積が一定の割合で増え続け、最大になるのは点Pが頂点D
  に来るときです。
  
  点PがDE間を動くとき、三角形APEはPEを底辺、ADを高さとする三角形と考
  えられます。この間は面積が一定の割合で減り続け、点Pが点Eに来るとき面積は0
  になります。
  
  点PがEC間を動くとき、三角形APEはEPを底辺、ADを高さとする三角形と考
  えられます。この間は面積が一定の割合で増え続け、最大になるのは点Pが頂点Cに
  来るときです。
  
  点Pが辺CB上を動くとき、三角形APEは台形ABCEから2つの三角形ABPと
  ECPを除いたものとして考えられます。この間は面積が一定の割合で増え続け、最
  大になるのは点Pが頂点Bに来るときです。
  
  点Pが辺BA上を動くとき、三角形APEはPAを底辺、ADを高さとする三角形と
  考えられます。この間は面積が一定の割合で減り続け、点Pが点Aに戻ると面積は0
  になります。
  
  点Pがそれぞれの区切りになっている頂点に来る時の時刻とその時の面積をグラフの
  上に打って直線で結ぶと、次の図のようになります。

                       答 
                        


(2) グラフから全部で4度あることがわかります。1秒あたりの面積の増え方と減り方の
  割合に目をつけて計算します。



  1度目は0〜10秒後の間です。

   25÷10=毎秒2.5cm2の割合で増えるので、 

     12÷2.5=4.8秒後

  2度目は10〜15秒後の間です。
 
   25÷(15−10)=毎秒5cm2の割合で減るので、
 
   10+(25−12)÷5=12.6秒後

  3度目は15〜20秒後の間です。

   25÷(20−15)=毎秒5cm2の割合で増えるので、

   15+12÷5=17.4秒後

  4度目は30〜40秒後の間です。

   50÷(40−30)=毎秒5cm2の割合で減るので、

   30+(50−12)÷5=37.6秒後

                       答 4.8秒後、12.6秒後、
                        17.4秒後、37.6秒後


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