算数


    「三角形の面積比の問題」

    相似な三角形や高さが等しい三角形の面積比を考える問題はよく出されます。以下の問題
    は難しいものではありませんが、女子の中堅・下位校でよく出される形式の問題です。
    他校の受験生にも参考になるでしょう。


<問題>

次の図で,AP:PB=AQ:QC=1:2で,ACとRBは平行です。また,三角形ABCの面積は9cm2です。

   

次の問いに答えなさい。

(1) 三角形APQの面積は何cm2ですか。

(2) 斜線部分の面積は何cm2ですか。

(3) 四角形ARBCの面積と,(2) で求めた面積との比を,もっとも簡単な整数の比で
  表しなさい。















<解答>

(1) AP:PB=AQ:QC=1:2なので、PQとBCは平行です。
   

  よって対応する2つの角の大きさが等しいので、三角形ABCと三角形APQは相似
  です。

  相似比はAB:APから求めると、

  (1+2):1=3:1

  面積比は、

  (3×3):(1×1)=9:1

  これから、三角形APQの面積は三角形ABCの面積のだとわかります。

   9cm2×=1cm2

                         答 1cm2


(2) 斜線部分の面積は、2つの三角形APQ、BPRの面積の和です。
  ACとRBが平行なので、この2つ三角形も相似です。
  相似比は1:2で、面積比は1:4です。
  三角形APQの面積は1cm2なので、三角形BPRの面積は、

  1cm2×4=4cm2

  斜線部分の面積は、

  1cm2+4cm2=5cm2
                         答 5cm2


(3) 四角形ARBCの面積は、3つの三角形ABC、BPR、APRの面積の和です。 
  このうちで面積がわかっていないのは三角形APRです。
  三角形APRは三角形APQと高さが等しいので、
  この2つの三角形の面積比は底辺の長さの比になります。



  (2)で用いた相似から、PR:PQ=PB:PA=2:1です。
  三角形APRの面積は三角形APQの面積の2倍なので、

  1cm2×2=2cm2

  四角形ARBCの面積は、

  9cm2+4cm2+2cm2=15cm2

  求める比は、

  15cm2:5cm2=3:1

                         答 3:1


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