＜問題＞
次の図で，ＡＰ：ＰＢ＝ＡＱ：ＱＣ＝１：２で，ＡＣとＲＢは平行です。また，三角形ＡＢＣの面積は９ｃm2です。
次の問いに答えなさい。
(1) 三角形ＡＰＱの面積は何ｃm2ですか。
(2) 斜線部分の面積は何ｃm2ですか。
(3) 四角形ＡＲＢＣの面積と，(2) で求めた面積との比を，もっとも簡単な整数の比で
表しなさい。
＜解答＞
(1) ＡＰ：ＰＢ＝ＡＱ：ＱＣ＝１：２なので、ＰＱとＢＣは平行です。
よって対応する２つの角の大きさが等しいので、三角形ＡＢＣと三角形ＡＰＱは相似
です。
相似比はＡＢ：ＡＰから求めると、
（１＋２）：１＝３：１
面積比は、
（３×３）：（１×１）＝９：１
これから、三角形ＡＰＱの面積は三角形ＡＢＣの面積の
だとわかります。９ｃm2×
＝１ｃm2答 １ｃm2
(2) 斜線部分の面積は、２つの三角形ＡＰＱ、ＢＰＲの面積の和です。
ＡＣとＲＢが平行なので、この２つ三角形も相似です。
相似比は１：２で、面積比は１：４です。
三角形ＡＰＱの面積は１ｃm2なので、三角形ＢＰＲの面積は、
１ｃm2×４＝４ｃm2
斜線部分の面積は、
１ｃm2＋４ｃm2＝５ｃm2
答 ５ｃm2
(3) 四角形ＡＲＢＣの面積は、３つの三角形ＡＢＣ、ＢＰＲ、ＡＰＲの面積の和です。
このうちで面積がわかっていないのは三角形ＡＰＲです。
三角形ＡＰＲは三角形ＡＰＱと高さが等しいので、
この２つの三角形の面積比は底辺の長さの比になります。
(2)で用いた相似から、ＰＲ：ＰＱ＝ＰＢ：ＰＡ＝２：１です。
三角形ＡＰＲの面積は三角形ＡＰＱの面積の２倍なので、
１ｃm2×２＝２ｃm2
四角形ＡＲＢＣの面積は、
９ｃm2＋４ｃm2＋２ｃm2＝１５ｃm2
求める比は、
１５ｃm2：５ｃm2＝３：１
答 ３：１