入試問題のポイント（算数）
■点の移動によってできる図形
動点を考える問題はある状況になるときまでにかかる時間を考える問題です。速さ・周期性・相似などの融合問題になっているのが特徴で、以前はいろいろな入試難度の学校でよく出されました。この問題も一般的な考え方を組み合わせた問題で、中堅レベルの学校の志望者は練習問題として使うと良いでしょう。
■問題
次の図のような長方形ＡＢＣＤがあります。点Ｅ，Ｆはそれぞれ辺ＡＢ，ＤＣのまん中の点で，点Ｐは，ＥＦ上を点ＥからＦまで毎秒３cmの速さ，点Ｑは辺ＤＡ上を点ＤからＡまで毎秒４cmの速さで動きます。点Ｐ，Ｑが同時に出発するとして，次の（１）〜（２）の問いに答えなさい。
(1) ２点Ｐ，Ｑが出発してから６秒後の四角形ＡＢＰＱの面積は何ｃm2ですか。
(2) 四角形ＡＢＰＱが台形になるのは，２点Ｐ，Ｑが出発してから何秒後ですか。
(3) ３点Ｑ，Ｐ，Ｃが一直線に並ぶのは，２点Ｐ，Ｑが出発してから何秒後ですか。
■解答
(1) 図に表すと次のようになります。
四角形ＡＢＰＱは台形ＡＥＰＱと直角三角形ＢＥＰに分けられるので，
ＡＱの長さ ３６cm−毎秒４cm×６秒＝１２cm
ＥＰの長さ 毎秒３cm×６秒＝１８cm
台形ＡＥＰＱの面積 （１２＋１８）cm×６cm÷２＝９０ｃm2
直角三角形ＢＥＰの面積 １８cm×６cm÷２＝５４ｃm2
これより，
９０＋５４＝１４４ｃm2
答 １４４ｃm2
(2) 図に表すと次のようになる時です。
ＤＰとＥＰの長さの和がＡＤの長さと等しくなるので，
３６cm÷毎秒（４＋３）cm＝５
秒
答 ５秒後
(3) 図に表すと次のようになる時です。
三角形ＣＰＦと三角形ＣＱＤとが相似になるので，
ＱＤ：ＰＦ＝ＣＤ：ＣＦ＝２：１
また，速さの比から，
ＱＤ：ＥＰ＝４：３
この２つの比から，
ＥＰ：ＰＦ＝３：２
よって，
ＥＰの長さ ３６cm×
＝
cm
かかった時間 cm÷毎秒３cm＝７
秒