入試問題のポイント（算数）
■点の移動と面積変化
過去にいろいろな学校で出されてきた問題です。筑駒が出したことによって中堅レベルの学校でよく出されるようになるかもしれません。頂点を通るところで区切れたグラフを書いて考えると意外にたやすく解くことができます。
■問題
図のように，辺ＡＤの長さが１０cm，辺ＣＤの長さが５cmの長方形ＡＢＣＤがあります。
点Ｏは長方形の内側にあり，Ｏから辺ＡＢ，ＢＣに垂直な線をひき，交わった点をそれぞれＥ，Ｆとすると，ＢＥの長さは２cm，ＢＦの長さは４cmです。
点ＰはＡを，点ＱはＥを同時に出発し，長方形ＡＢＣＤの周上を反時計回りに毎秒１cmの速さで進み，ＰがＤに着くまで動きます。このとき，線ＯＰ，ＯＱと長方形ＡＢＣＤの周で囲まれた図形のうち，面積の小さい方について考えます。
次の問いに答えなさい。
(1) Ｐ，Ｑが出発してから４秒後の図形の面積を求めなさい。
(2) Ｐ，Ｑが出発してからの時間と図形の面積の関係を，グラフに表しなさい。
(3) 図形の面積が５ｃm2となるのは，Ｐ，Ｑが出発してから何秒後ですか。考えられるものをすべて答えなさい。
■解答
(1) ４秒後の図は次の通りです。
三角形ＢＯＰと三角形ＢＯＱに分けられるので、
三角形ＢＯＰ＝１cm×４cm÷２＝２ｃm2
三角形ＢＯＱ＝２cm×２cm÷２＝２ｃm2
求める図形の面積は、
２ｃm2＋２ｃm2＝４ｃm2
答 ４ｃm2
(2) ２つの動点が頂点を通過する時刻でグラフの形が変わります。
点Ｐが 頂点Ｂを通過するのは、 ５秒後
頂点Ｃを通過するのは、 １５秒後
頂点Ｄに達するのは、 ２０秒後
点Ｑが 頂点Ｂを通過するのは、 ２秒後
頂点Ｃを通過するのは、 １２秒後
頂点Ｄを通過するのは、 １７秒後
これらから、
１） ０〜 ２秒後 点Ｐ、点Ｑとも辺ＡＢ上
求める面積は底辺３cmで高さ４pの三角形の面積で一定
２) ２〜 ５秒後 点Ｐは辺ＡＢ上、点Ｑは辺ＢＣ上
求める面積は高さ４cmの三角形と高さ２pの三角形の面積の和で一定の割合で減少
３） ５〜１２秒後 点Ｐ、点Ｑとも辺ＢＣ上
求める面積は底辺３cmで高さ２pの三角形の面積で一定
４) １２〜１５秒後 点Ｐは辺ＡＢ上、点Ｑは辺ＢＣ上
求める面積は高さ２cmの三角形と高さ６pの三角形の面積の和で一定の割合で増加
５）１５〜１７秒後 点Ｐ、点Ｑとも辺ＣＤ上
求める面積は底辺３cmで高さ６pの三角形の面積で一定
４) １７〜２０秒後 点Ｐは辺ＣＤ上、点Ｑは辺ＤＡ上
求める面積は高さ６cmの三角形と高さ３pの三角形の面積の和で一定の割合で減少
以上から、区切りとなる時刻の面積を順に求めます。
出発時の面積 ３cm×４cm÷２＝６ｃm2
２秒後の面積 ６ｃm2
５秒後の面積 ３cm×２cm÷２＝３ｃm2
１２秒後の面積 ３ｃm2
１５秒後の面積 ３cm×６cm÷２＝９ｃm2
１７秒後の面積 ９ｃm2
２０秒後の面積 ３cm×３cm÷２＝４．５ｃm2
この変化の様子は次のグラフのようになります。
答
(3) 上のグラフで面積が５ｃm2になっている時刻を調べると，
１回目 ２〜 ５秒の間
２回目 １２〜１５秒の間
３回目 １７〜２０秒の間
それぞれ１秒間に面積が変化する割合を考えて求めると，
１回目 （６−３）ｃm2÷（５−２）秒＝毎秒１ｃm2
２秒＋（６ー５）ｃm2÷毎秒１ｃm2＝３秒
２回目 （９−３）ｃm2÷（１５−１２）秒＝毎秒２ｃm2
１２秒＋（５−３）ｃm2÷毎秒２ｃm2＝１３秒
３回目 （９−４．５）ｃm2÷（２０−１７）秒＝毎秒１．５ｃm2
１７秒＋（９−５）ｃm2÷毎秒１．５ｃm2＝１９
秒