入試問題のポイント（算数）
■相似三角形の辺の長さの比と面積の比
直角三角形で相似を考える問題は平行線を使う問題とともに中学受験では一般的な相似の問題です。図を見た瞬間に相似三角形を見つけ，さらにその相似比はどうなっているか考え始めると良いでしょう。
■問題
正方形ＡＢＣＤの辺ＢＣを何等分かし，Ｂにもっとも近い点をＰとします。ＢからＡＰに垂直な線をひき，ＡＰとの交点をＨ，ＡＰ＝１０cmとするとき，次の問いに答えなさい。
(1) ［図１］のように,辺ＢＣを３等分するとき，ＢＨ:ＨＰをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。
(2) (1) と同様に，辺ＢＣを３等分するとき，正方形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
(3) ＢＨ：ＨＰ＝７：１のとき，三角形ＡＢＰの面積を求めなさい。
(4) 三角形ＡＢＨの面積１６ｃm2で三角形ＢＰＨの面積が４ｃm2のとき，正方形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
(5) ［図２］のように，角ＡＰＥの大きさが４５度になるように点Ｅをとり，三角形ＡＰＥの面積が４０ｃm2のとき，ＢＰ：ＰＣをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。
■解答
直角三角形で直角の頂点から対辺に垂線を引くと，もとの直角三角形と相似な直角三角形が２つできます。
次の図では，三角形ＡＢＣと三角形ＤＢＡと三角形ＤＡＣが相似です。
これを使って考えます。
(1) 三角形ＢＨＰは三角形ＡＢＰと相似です。
よって，
ＢＨ：ＨＰ＝ＡＢ：ＢＰ＝３：１
答 ３：１
(2) 三角形ＡＨＢは三角形ＡＢＰも相似です。
よって，ＡＨ：ＢＨ＝ＡＢ：ＰＢ＝３：１
(1) の結果も利用し連比を作り考えると，
ＡＨ：ＢＨ：ＨＰ
３： １
３： １
───────
９： ３： １
これより，
ＡＰ：ＢＨ＝（９＋１）：３＝１０：３
ＡＰ＝１０cmなので，
ＢＨ＝１０cm×
＝３cm
三角形ＡＢＰの面積は，
１０cm×３cm÷２＝１５ｃm2
正方形ＡＢＣＤと三角形ＡＢＰの面積比は，
（ＡＤ＋ＢＣ）：ＢＰ＝（３＋３）：１＝６：１
正方形ＡＢＣＤの面積は，
１５ｃm2×６＝９０ｃm2
答 ９０ｃm2
(3) 三角形ＢＨＰと三角形ＡＨＢは相似なので，ＡＨ：ＨＢ（ＢＨ）も７：１です。
ＡＨ：ＢＨ：ＨＰ
７： １
７： １
───────
４９： ７： １
これから，
ＡＰ：ＢＨ＝（４９＋１）：７＝５０：７
ＡＰ＝１０cmなので，
ＢＨ＝１０cm×
＝
cm
三角形ＡＢＰの面積は，
１０cm×cm÷２＝７ｃm2
答 ７ｃm2
(4) 相似三角形の面積比は相似比の２乗の比になるので，
三角形ＡＨＢと三角形ＢＨＰの相似比は２：１です。
これから，
ＡＢ：ＢＰ＝２：１
正方形ＡＢＣＤと三角形ＡＢＰの面積比は，
（ＡＤ＋ＢＣ）：ＢＰ＝（２＋２）：１＝４：１
正方形ＡＢＣＤの面積は，
（１６ｃm2＋４ｃm2）×
＝８０ｃm2
答 ８０ｃm2
(5) 次の図のように，点ＥからＡＰに引いた垂線がＡＰと交わる点をＩとすると，
三角形ＡＰＥで底辺をＡＰとしたときの高さがＥＩとなり，その長さは，
４０×２÷１０＝８cm
また，三角形ＩＥＰは直角二等辺三角形なので，
ＥＩ＝ＰＩ＝８cm
これから，
ＩＡ＝１０−８＝２cm
２角が互いに等しいので三角形ＡＢＰと三角形ＥＩＡは相似です。
よって，
ＡＢ：ＢＰ＝ＥＩ：ＩＡ＝８cm：２cm＝４：１
この結果から，
ＢＰ：ＰＣ＝１：（４−１）＝１：３
答 １：３