入試問題のポイント（算数）
■規則性の総合問題
規則性の問題には等差数列、周期性の利用、植木算、方陣算など、いろいろあります。この問題はそれらの基本的な考え方を組み合わせて作ったものです。練習問題として解くのも良いでしょう。
■問題
１から２０までの数の書いてあるカードがたくさんあります。
いまこのカードを次のようなきまりで１，２，３，・・・・のように数の小さいカードから順に２０までならべたら，また，１，２，３，・・・・というようにならべていきます。
ならべかた
@１回目は，図１のように，☆のカードの上に１をおき，時計まわりに☆を囲むよ
うに，８までのカードを８枚ならべる。
A２回目は，図２のように，@でならべたカードのまわりを囲むように，１のカードの上から，９から４までの順にカードを１６枚ならべる。
B同じようにして，３回目は９のカードの上から，５のカードから順にならべる。
下の図１から図３は@からBのようすを表しています。
このとき,次の[ ]にあてはまる数を答えなさい。
(1) ８回目にならべるカードは［ ］枚です。
(2) ８回目にならべるカードの最初のカードにかいてある数は［ ］です。
(3) １２回目にならべるカードに書いてある数の和は［ ］です。
■解答
(1) １辺に並ぶカードの数は、３、５、７、９、・・・と変わります。
３から始まる差が２の等差数列なので、８回目の１辺に並ぶカードの数は、
３＋２×（８−１）＝１７枚
方陣算を利用して、
（１７−１）×４＝６４枚
答 ６４枚
(2) ７回目までに並べたカードの総数を求めます。
１辺に並ぶカードの枚数は、
３＋２×（７−１）＝１５枚
よって、全部のカードの枚数は、
１５×１５−１＝２２４枚
１から２０までの数が周期的に繰り返されるので、
２２４÷２０＝１１あまり４
７回目に並べた最後のカードは「４」です。
よって、「５」が答です。
答 ５
(3) 同様に１１回目までに並べたカードの総数は、
３＋２×（１１−１）＝２３枚
２３×２３−１＝５２８枚
１２回目に並べた最初のカードは、
５２８÷２０＝２９あまり８
より、「９」
次に、１２回目に並べたカードの数を求めます。
１辺に並ぶカードの枚数が、
２３＋２＝２５枚
全部で、
（２５−１）×４＝９６枚
ここで、
９６÷２０＝４あまり１６
よって、この中に、｛９、１０、・・・、２０、１，・・・、７，８｝の２０個のまとまりが４個、
まとまりに含まれない数が１６個あります。
実際に計算する場合には、まとまり５個から含まれない４個の数を除く計算の方が早く終わるでし
ょう。
（９＋１０＋・・・＋７＋８）×４＋（９＋１０＋・・・＋３＋４）
＝（１＋２＋・・・＋１９＋２０）×５−（５＋６＋７＋８）
＝｛（１＋２０）×２０÷２｝×５−（５＋６＋７＋８）
＝１０５０−２６
＝１０２４
答 １０２４