入試問題のポイント（算数）
■割合の応用問題
ある量を１として考える，割合の基本の考え方を使う問題です。条件を整理して考えるのが苦手な生徒が増えているので，難しく感じる生徒も多いと思います。よく考えられた良問なので，練習問題にも良いでしょう。
■問題
ＡさんとＢさんで赤と青のビー玉を<1> <2> <3> のように分けることにします。
<1> Ａさん，Ｂさんのビー玉の個数の比は２：３にします。
<2> Ａさんのビー玉のうちは赤にします。
<3> 青のビー玉のうちはＡさんがもらいます。
次の各問いに答えなさい。
(1) ＡさんとＢさんの赤いビー玉の個数の比を求めなさい。
(2) <1> <2> <3> のように分けるためには，ビー玉は最低でも何個必要になりますか。
(3) ＡさんとＢさんで赤と青のビー玉を<1> <2> <3> のように分けました。そのあと，Ａさんの赤いビー
玉とＢさんの青いビー玉を１個ずつ交換していくと，７個目で初めてＡさんの青いビー玉の個数が
Ｂさんの青いビー玉の個数より多くなりました。Ａさんの赤いビー玉はもともと何個ありましたか。
■解答
(1) Ａさん，Ｂさんが持っているビー玉の個数の合計を１とします。
条件<1> から，
Ａさんのビー玉の個数は， １×
＝
Ｂさんのビー玉の個数は， １×
＝
条件<2> から，
Ａさんの赤いビー玉の個数は， ×＝
Ａさんの青いビー玉の個数は， −＝
条件<3> から，
２人合わせた青いビー玉の個数は， ÷
＝
２人合わせた赤いビー玉の個数は， １−＝
これらから，
Ａさんの赤いビー玉の個数は， −＝
よって，ＡさんとＢさんの赤いビー玉の個数の比は，
：＝４：７
答 ４：７
(2) 計算を続けて割合を求めると，
Ａさんの持っている赤いビー玉，青いビー玉の割合は，，
Ｂさんの持っている赤いビー玉，青いビー玉の割合は，，
分母が等しいので，まず，それぞれ４個，６個，７個，８個と考えます。
この場合は条件<1>〜<3>に当てはまります。
よって，最少のビー玉の数は，
４個＋６個＋７個＋８個＝２５個
答 ２５個
(3) １度の交換で，Ａさんの青いビー玉は１個増え，Ｂさんの青いビー玉は１個減るので，
２個ずつ差が詰まります。
７度の交換で初めて２人の青いビー玉の個数が逆転したので，もともとの差は１２個
か１３個と考えられます。
１３個では全体のビー玉の個数が整数になりませんので，もともとの差は１２個だと
わかります。
全体のビー玉の個数は， １２個÷（−）＝１５０個
Ａさんのビー玉の個数は， １５０個×＝２４個
答 ２４個