入試問題のポイント（算数）
■線分の長さと面積比
線分の長さの比やそれを利用して面積比を考える問題はよく出されます。この問題では基本の計算法が示されていますが、よく読んでその通りに解かないと逆に難しい問題となります。
■問題
次の説明を読んで問題に答えなさい。
説明
図１のように三角形ＡＢＣに３本の中線（各頂点からその向かい合った辺の中点を結んだ線分）ＡＤ，
ＢＥ，ＣＦをひくと，これらは１点で交わります。この点に糸を通して三角形をつり下げると三角形は水
平に保たれます。このように三角形がバランスをとる点を重心といいます。
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それでは，次の図２のように三角形の各頂点Ａ，Ｂ，Ｃに重さの異なるおもりをつり下げたときの重心
を求める方法について次のことを考えました。
図３のように線分ＡＢの両端に１０ｇと２０ｇのおもりがつり下げられているとき，線分ＡＢがつりあう点
Ｆの位置は重さに反比例して，ＡＦ：ＦＢ＝２：１となります。このとき，図４の三角形ＡＢＣの重心Ｇは
線分ＣＦ上にあります。
同様に線分ＢＣの両端に２０ｇと１０ｇのおもりがつり下げられているとき線分ＢＣがつりあう点Ｄの位
置は，ＢＤ：ＤＣ＝１：２となります。このとき，三角形ＡＢＣの重心Ｇは線分ＡＤ上にあります。
２つの線分ＣＦとＡＤの交点が点Ａ，Ｂ，Ｃに１０ｇ，２０ｇ，１０ｇをつり下げたときの重心Ｇとなります。
線分ＣＡの両端につり下げられたおもりの重さは等しいので， 線分ＣＡがつりあう点Ｅの位置は，
ＣＥ：ＥＡ＝１：１にあります。
問題
(1) おもりをつり下げた三角形ＡＢＣの各辺のつりあう点と頂点を結ぶ線分ＡＤとＢＥを解答用紙の図
に作図しなさい。ただし，三角形の辺にある点は，それぞれの辺を６等分している点です。
説明
図５のように，辺ＢＣの両端に２０ｇと１０ｇのおもりがつり下げられているとき，辺ＢＣのつりあう点
Ｄに（２０＋１０）ｇの重さがかかっているとみなすことができます。
したがって，図６のように線分ＡＤの両端には１０ｇと３０ｇのおもりがつり下げられていることにな
り，そのつりあう点は，上で作図したＡＤとＢＥとＣＦの交点Ｇと一致して，ＡＧ：ＧＤ＝３：１となりま
す。
問題
次の図７の三角形ＡＢＣの各頂点に４ｇ，６ｇ，１２ｇのおもりをつり下げて，上と同様な方法でＤ，Ｅ，
Ｆ，Ｇの点をとるとき，次の問に答えなさい。
(2) ＡＦ：ＦＢを最も簡単な整数の比で答えなさい。
(3) ＣＧ：ＧＦを最も簡単な整数の比で答えなさい。
(4) 三角形ＧＢＤと三角形ＡＤＣの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
問題
(5) 次の図８の三角形ＡＢＣにおいてＡＦ：ＦＢ＝２：３、ＢＤ：ＤＣ＝３：５のときＡＥ：ＥＣの比を最も簡単
な整数の比で答えなさい。
■解答
(1) 説明に書かれたとおりに作図します。
ＢＤ：ＤＣ＝１：２なので、点Ｄは次の図の赤い点になり、
ＣＥ：ＥＡ＝１：１なので、点Ｅは次の図の青い点になります。
よって、答は次の図です。
(2) つりあう点までの距離はおもりの重さに反比例するので、
ＡＦ：ＦＢ＝点Ｂのおもりの重さ：点Ａのおもりの重さ
＝６g：４g
＝３：２
答 ３：２
(3) 点Ｆに点Ａのおもりと点Ｂのおもりの合計の重さがかかっていると考えて、
ＣＧ：ＧＦ＝点Ｆのおもりの重さ：点Ｃのおもりの重さ
＝（６g＋４g）：１２g
＝５：６
答 ５：６
(4) 辺の長さの比を使って三角形の面積比を求めるには、いろいろな方法が考えられます。
ここでは、高さの等しい三角形の面積比は底辺の比に等しいことを利用して求めます。
まず、三角形ＡＢＣの面積を１とします。
(2) と同様にして、ＢＤ：ＤＣ＝２：１がわかるので、
三角形ＡＢＤの面積＝
、三角形ＡＤＣの面積＝
また、(3) と同様にして、ＡＧ：ＧＤ＝９：２がわかるので、
三角形ＧＢＤの面積＝三角形ＡＢＤの面積×
＝×
＝
よって、
三角形ＧＢＤの面積：三角形ＡＤＣの面積＝：
＝４：１１
答 ４：１１
(5) ここまでの考え方を使うと、
Ａ点のおもりの重さ：Ｂ点のおもりの重さ＝ＦＢ：ＡＦ
＝３：２
Ｂ点のおもりの重さ：Ｃ点のおもりの重さ＝ＤＣ：ＢＤ
＝５：３
連比をつくると、
Ａ点のおもりの重さ：Ｂ点のおもりの重さ：Ｃ点のおもりの重さ
＝１５：１０：６
これより、
Ａ点のおもりの重さ：Ｃ点のおもりの重さ＝１５：６
＝５：２
ＡＥ：ＥＣ＝Ｃ点のおもりの重さ：Ａ点のおもりの重さ
＝２：５
答 ２：５