入試問題のポイント（算数）
■速さの応用問題
桐光学園の入試問題は図形の問題と、速さ・規則性・場合の数などを融合させた問題が多く出されます。そのため、図形の基本性質や長さ・面積・体積などの計算を正確に行い、解いていく必要があります。
■問題
図のように，よこが70ｍ，たてが42ｍの長方形と２つの半円でつくられたコース（図の太線部分）があります。Ａさんは，スタート地点から図の矢印の向きに，直線を毎秒５ｍ，曲線を毎秒4.71ｍで走ります。Ｂさんは，直線を毎秒７ｍ，曲線をある一定の速さで走ります。Ｂさんが，Ａさんと同時にスタート地点から反対の向きに出発し，26秒後にはじめてＡさんと出会いました。
このとき，次の問いに答えなさい。
(1) Ａさんがこのコースを１周するのに何秒かかりますか。
(2) Ｂさんが曲線を走る速さは毎秒何ｍですか。
(3) ＡさんとＢさんがスタート地点から同時に図の矢印の向きに出発することにします。
ＢさんがＡさんに最初に追いつくのは出発してから何分何秒後ですか。
■解答
(1) 直線部にかかる時間は，
（７０ｍ÷毎秒５ｍ）×２
＝１４秒×２
＝２８秒
曲線部にかかる時間は，
（４２ｍ×３．１４×
÷毎秒４．７１ｍ）×２
＝１４秒×２
＝２８秒
１周にかかる時間は，
２８秒＋２８秒＝５６秒
答 ５６秒
(2) ２６秒後に出会うので，その場所はＡさんにとって最初の曲線部の途中です。
２６秒−１４秒＝１２秒
Ａさんが走った曲線部が曲線部全体に占める割合は，
１２秒÷２８秒＝
２６秒のうち，Ｂさんが曲線部を走った時間は，
２６秒−７０ｍ÷毎秒７ｍ＝２６秒−１０秒
＝１６秒
Ｂさんが曲線部を走った速さは，
４２ｍ×３．１４×（１−）÷１６秒＝毎秒４．７１ｍ
答 毎秒４．７１ｍ
(3) ２人が曲線部を走る速さは等しいので，直線部にかかる時間で差が開きます。
そこで１周ごとに直線部ＰＱ，ＲＳを走っている時間を考えます。
追いつくときにはＡさんが走ったのが１周少ないので，次のように考えます。
ＰＱ間 ＲＳ間
Ａさん Ｂさん Ａさん Ｂさん
０〜 １０ ２４〜 ３４
０〜 １４ ４８〜 ５８ ２８〜 ４２ ７２〜 ８２
５６〜 ７０ ９６〜１０６ ８４〜 ９８ １２０〜１３０
１１２〜１２６ １４４〜１５４ １４０〜１５４ １６８〜１７８
１６８〜１８２ １９２〜２０２ １９６〜２１０ ２１６〜２２６
２２４〜２３８ ２４０〜２５０ ２５２〜２６６ ２６４〜２７４
２８０〜２９４ ２８８〜２９８ ３０８〜３２２ ３１２〜３２２
３２２秒後に点Ｓで追いつくことがわかります。
３２２秒＝５分２２秒
答 ５分２２秒後
＜別解＞
この問題ではＢさんがＰＲ，ＲＳの区間を走る時間以外がみな１４秒と等しいので，
Ｂさんが直線部を走る回数を求めることができます。
Ａさんが１周にかかる５６秒だけ差をつければよいので，
５６秒÷（１４秒−１０秒）＝１４回
Ｂさんが直線部を１４回走り終わった時に追いつきます。
Ｂさんが７週目に点Ｓを通過する時に追いつくのがわかるので，
４８秒×７−１４秒＝３２２秒＝５分２２秒