入試問題のポイント（算数）
■相似と線分の長さ・面積
長方形や平行四辺形をいくつかの直線で区切ってできる各部分の面積を考える問題です。このような問題はほとんど相似を利用して線分の長さを求めて解くものです。成城中は基本的な事がらを正確に使って正解を導く力を診る出題が多く，この問題もその特徴が表れています。
■問題
次の図のように長方形ＡＢＣＤがあり，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈはそれぞれ辺の上の点です。直線ＥＧと直線ＦＨの交わった点をＩとすると，ＩはＦＨを２等分する点になりました。
(1) 三角形ＢＦＩと三角形ＤＨＩの面積の比は□:□です。
(2) 四角形ＡＥＩＨの面積は□ｃm2です。
■解答
(1) 点Ｉを通り辺ＡＢに平行な直線ＪＫを引くと，三角形ＦＩＫと三角形ＨＩＪは相似です。
その相似比はＦＩ：ＨＩから求めると１：１です。これから合同となり，ＩＫ＝ＩＪが分かります。
よって，三角形ＢＦＩと三角形ＤＨＩは高さが等しく，面積比は底辺ＢＦとＤＨの比と同じです。
ＢＦ：ＤＨ＝４ｃｍ：（４ｃｍ＋１４ｃｍ−１０ｃｍ）
＝４ｃｍ：８ｃｍ
＝１：２
答 １：２
(2) いろいろな考え方ができますが，ここでは四角形ＡＥＩＨは直角三角形ＨＩＪと台形ＡＥＩＪに分けられることを利用します。
ＩＪ＝ＩＫなので，
ＩＪ＝ＡＢ÷２
＝（１３ｃｍ＋２ｃｍ）÷２
＝７．５ｃｍ
また，ＨＪ＝ＦＫなので，
ＨＪ＝（ＡＨ−ＢＦ）÷２
＝（１０ｃｍー４ｃｍ）÷２
＝３ｃｍ
直角三角形ＨＩＪの面積は，
ＩＪ×ＨＪ÷２＝７．５ｃｍ×３ｃｍ÷２
＝１１．２５ｃm2
台形ＡＥＩＪの面積は，
（ＡＥ＋ＩＪ）×ＡＪ÷２
＝（４ｃｍ＋７．５ｃｍ）×（１０ｃｍ−３ｃｍ）÷２
＝４０．２５ｃm2
よって，四角形ＡＥＩＨの面積は，
１１．２５ｃm2＋４０．２５ｃm2＝５１．５ｃm2
答 ５１．５ｃm2