入試問題のポイント（算数）
■容器中の水の深さの変化
容器に水を入れていくときの深さの変化を考える問題はよく出されます。この問題は容器に物体を沈めたときに底面積が変わることに目を着けて解く問題です。
■問題
下の図のように、たて５cm、横１２cm、高さ１０cmの直方体の水槽の中に、たて２cm、横５cmの直方体の石が置いてあります。グラフは、この水槽に毎分３０ｃm3の水を入れたときの時間と深さの変化を表しています。次の問いに答えなさい。
(1) 石の高さは何cmですか。
(2) 同じ大きさの石を、水槽にもうひどつ図と同じように並ベて置くとき、水を入れ始めてから１０分後の
水の深さは何cmですか。
■解答
(1) 水槽に入った水の合計は、水槽の容積から石の体積を除いたものです。
水槽の容積は、
５cm×１２cm×１０cm＝６００ｃm3
入った水の量は、
毎分３０ｃm3×１８分＝５４０ｃm3
よって、石の体積は、
６００ｃm3−５４０ｃm3＝６０ｃm3
石は縦２cm、横５cmなので、石の高さは、
６０ｃm3÷（２cm×５cm）
＝６０ｃm3÷１０ｃm2
＝６cm
答 ６cm
(2) 水の深さが石の高さになるまで（図の青い部分）にとその後（緑の部分）とに分けて考えます。
石を２個並べて入れたので、そのぶんだけ水槽の底面積は小さくなります。
深さが６cmになるまでに入る水の体積は、
（５cm×１２cm−１０ｃm2×２）×６cm
＝（６０m2−２０ｃm2）×６cm
＝４０ｃm2×６cm
＝２４０ｃm3
ここまでにかかる時間は、
２４０ｃm3÷毎分３０ｃm3＝８分
１０分になるにはあと２分かかるので、さらに入る水の体積は、
毎分３０ｃm3×２分＝６０ｃm3
この間の底面積は水槽の底面積と同じなので、増えた水の深さは、
６０ｃm3÷６０m2＝１cm
よって、１０分後の深さは、
６cm＋１cm＝７cm
答 ７cm