入試問題のポイント（算数）
■円すいの切断
このタイプの問題では，相似比を求めてからその２乗や３乗から表面積比や体積比を求めるという手順で解きます。相似な立体の相似比は切断面を書き，そこに相似な三角形を作り求める必要があります。
■問題
底面の半径が６cmの直円すいがあります。これを図のように，頂点と底面の中心Ｏを通る平面で切り，さらに底面に平行な平面で切ったところ，切り口の半円の半径が３cmになりました。点Ｐは切り口の半円の中心で，角ＣＯＤ，角ＢＰＡはそれぞれ直角です。ただし，円周率を3.14とします。また，図中の数字の単位はcmです。(注意:この問題は解き方も書きなさい。)
(1) 切り取る前の直円すいの高さは何cmですか。
(2) この立体の体積は何ｃm3ですか。
(3) 図の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを通る平面で立体を切るとき，小さい方の立体の体積は何ｃm3ですか。
■解答
(1) 元の直円すいを平面ＡＤＯＰで切った断面で考えます。
元の直円すいの頂点をＱ，点Ａから直線ＱＯに平行に引いた直線と辺ＤＯとの交点をＥとします。
このとき，三角形ＡＤＥと三角形ＱＤＯは相似です。
ＡＥ：ＱＯ＝ＤＥ：ＤＯ
＝（６cm−３cm）：６cm
＝１：２
ＡＥ＝ＰＯ＝５cmなので，
ＱＯ＝５cm×２＝１０cm
答 １０cm
※このような問題では上の解法が一般的です。が，三角形ＡＤＥと三角形ＱＡＰの相似を考えて解
くのが早い場合もあります。
(2) 図のように直円すいの半分になる立体を考えて，それと相似な立体を切り落とした残りと考えるのがよいでしょう。
大きな立体と切り落とした立体の相似比は，
ＤＯ：ＡＰ＝６cm：３cm
＝２：１
体積比は，
（２×２×２）：（１×１×１）＝８：１
大きな立体の体積は，
（６cm×６cm×３．１４×
）×１０cm×
）＝１８８．４ｃm3
求める立体の体積は，
１８８．４ｃm3×
）＝１６４．８５ｃm3
答 １６４．８５ｃm3
※直接に切り落としたと考えた立体の体積を求め，それを大きな立体の体積から引いて考えること
もできます。
(3) 三角すいＱ−ＯＤＣから三角すいＱ−ＰＡＢを除いた立体ＰＡＢ−ＯＤＣを使って考えます。
相似を利用して，立体ＰＡＢ−ＯＤＣの体積を求めると，
（６cm×６cm×）×１０cm×）×）＝５２．５ｃm3
求める立体の体積は (2)で求めた立体の体積のから立体ＰＡＢ−ＯＤＣの体積を
除いたものなので，
１６４．８５ｃm3×−５２．５ｃm3＝２９．９２５ｃm3
答 ２９．９２５ｃm3