入試問題のポイント（算数）
■動点でできる三角形の面積
図形上を動く点でできる三角形の面積を考えるものは，点の動きによる面積の変化をグラフに表して変化の様子から面積を考える問題，図形を描き相似の性質から面積比を考える問題が一般的です。以下の問題も図に描いて考えるのが良いでしょう。
■問題
四角形ＡＢＣＤは辺ＡＤと辺ＢＣが平行な台形です。また，点Ｐは辺ＢＣ上を動く点です。
このとき，次の問いに答えなさい。
(1) 台形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
(2) ＢＰとＰＣの長さの比が７：２のとき，三角形ＡＰＥの面積を求めなさい。
(3) 三角形ＡＰＥの面積が一番大きいとき，その面積を求めなさい。
■解答
(1) 台形の公式をそのまま用いて計算します。
（４cm＋１８cm）×１０cm÷２＝１１０ｃm2
答 １１０ｃm2
(2) ここでは台形ＡＢＣＤから３つの三角形ＡＢＰ，ＣＥＰ，ＡＤＥを除いて考えます。
ＢＰとＰＣの長さの比が７：２なので，
ＢＰ＝１８cm÷（７＋２）×７＝１４cm
ＰＣ＝１８cm−１４cm＝４cm
三角形ＡＢＰの面積は，
１４cm×１０cm÷２＝７０ｃm2
三角形ＣＥＰの面積は，
４cm×（１０cm−４cm）÷２＝４cm×６cm÷２
＝１２ｃm2
三角形ＡＤＥの面積は，
４cm×４cm÷２＝８ｃm2
よって，三角形ＡＰＥの面積は，
１１０ｃm2−（７０ｃm2＋１２ｃm2＋８ｃm2）＝２０ｃm2
答 ２０ｃm2
(3) ＡＥは決まった辺なので，これを底辺と考えて高さが最大になる位置に点Ｐを動かします。
次の図のように考えると，高さが最大になるのは点Ｐが頂点Ｂにあるときだとわかります。
三角形ＥＢＣの面積は，
１８cm×６cm÷２＝５４ｃm2
よって，三角形ＡＢＥ（ＡＰＥ）の面積は，
１１０ｃm2−（５４ｃm2＋８ｃm2）＝４８ｃm2
答 ４８ｃm2