入試問題のポイント（算数）
■線分比と面積比
線分の長さの比から三角形の面積比を考える問題は，大きく分けると「底辺（高さ）が等しい三角形」「相似な三角形」「底辺の比と高さの比が分かる三角形」と３種あります。解法はいろいろ考えられもっと簡単に解く方法もありますが，中堅レベルの学校の出題でよく使われる３番目の考え方を使って解いてみました。
■問題
次の図の四角形ＡＢＣＤは，ＡＤとＢＣが平行で，ＡＤ：ＢＣ＝２：３です。また，ＡＧ＝ＧＤのとき，次の問いに答えなさい。
(1) 四角形ＡＢＣＤと三角形ＣＤＥの面積の比をもっとも簡単な整数で表しなさい。
(2) ＢＤとＥＦの長さの比をもっとも簡単な整数で表しなさい。
(3) 三角形ＥＢＣと四角形ＥＦＧＡの面積の比をもっとも簡単な整数で表しなさい。
■解答
(1) 台形ＡＢＣＤを対角線で４つの三角形に分けると，相似三角形の面積比，高さが等しい三角形の面積比の考え方を使って面積比を求めることができます。
１．三角形ＥＡＤと三角形ＥＣＢは相似で，
（２×２）：（３×３）＝４：９
面積比は，４：９
２．三角形ＥＡＤと三角形ＥＡＢは高さが等しく，
ＤＥ：ＢＥ＝ＡＤ：ＣＢ
＝２：３
面積比は，２：３
３．三角形ＥＡＤと三角形ＥＣＤは，２と同様にして，
面積比は２：３
よって，連比をつくると，
三角形ＥＡＤ：三角形ＥＣＢ：三角形ＥＡＢ：三角形ＥＣＤ＝４：９：６：６
四角形ＡＢＣＤと三角形ＣＤＥ（ＥＣＤ）の面積比は，
（４＋９＋６＋６）：６＝２５：６
答 ２５：６
(2) 三角形ＦＧＤと三角形ＦＣＢは相似です。ＧＤ：ＣＢから相似比を求めます。
ＧＤ：ＣＢ＝（ＡＤ÷２）：ＣＢ
＝（２÷２）：３
＝１：３
また，
ＤＥ：ＢＥ＝２：３
ここで，ＢＤ＝１とすると，
ＤＥ＝
，ＤＦ＝
，ＥＦ＝−＝
よって，
ＢＤ：ＥＦ＝１：＝２０：３
答 ２０：３
(3) 三角形ＡＣＧと三角形ＥＣＦの面積比を求めます。
ＡＥ：ＣＥ＝２：３より，
ＣＡ：ＣＥ＝（２＋３）：３＝５：３
ＧＦ：ＣＦ＝１：３より，
ＣＧ：ＣＦ＝（１＋３）：３＝４：３
よって，三角形ＡＣＧと三角形ＥＣＦの面積比は，
（ＣＡ×ＣＧ）：（ＣＥ×ＣＦ）＝（５×４）：（３×３）＝２０：９
この結果を利用して，四角形ＥＦＧＡと三角形ＥＣＦの面積比は，
（２０−９）：９＝１１：９
また，ＤＥ：ＢＥ＝２：３，ＤＦ：ＢＦ＝１：３より，
三角形ＥＢＣと三角形ＥＣＦの面積比は，
ＢＥ：ＥＦ＝
：（
−）＝４：１
三角形ＥＢＣ，四角形ＥＦＧＡ，三角形ＥＣＦの面積比は，連比を作って，
３６：１１：９
この結果から，三角形ＥＢＣと四角形ＥＦＧＡの面積の比は，
３６：１１
答 ３６：１１
（別解）
三角形ＥＡＤと三角形ＥＢＣの面積比は４：９
また，三角形ＥＡＤと三角形ＦＧＤの面積比は，
（ＤＡ×ＤＥ）：（ＤＧ×ＤＦ）＝（１×）：（
×）
＝１６：５
連比を作って，
三角形ＥＡＤ：三角形ＥＢＣ：三角形ＦＧＤ＝１６：３６：５
四角形ＥＦＧＡは三角形ＥＡＤから三角形ＦＧＤを除いたものなので，
三角形ＥＢＣ：四角形ＥＦＧＡ＝３６：（１６−５）
＝３６：１１