数の性質を考える問題はいろいろな形で出されます。計算に関する問題以外に，規則性，場合の数の題材として整数が用いられる場合もあります。以下の問題は場合の数に分類されるものです。
０から９までの整数２つのかけ算０×０から９×９の１００種類を使って，次のようにステップ数と終了解を考えます。はじめの２数の積が１けた（０を含む）のときは，そこで終了します。その積が２けたのときは，その十の位の数と一の位の数でかけ算をもう一度します。そして，その積が１けたのときはそこで終了し，２けたのときは，同じようにもう一度，十の位の数と一の位の数でかけ算をします。以下，同様に積が１けたになるまで続け，そのかけ算をおこなった回数をステップ数とし，最後の１けたになった数を終了解とします。
例えば，３×２＝６ ステップ数１ 終了解６
５×４＝２０ →２×０=０ ステップ数２ 終了解０
となります。
次の各問いに答えなさい。
(1) ６×８のステップ数と終了解を求めなさい。
(2) 最初の１００種類の中で，ステップ数が１となるものは何種類ありますか。
(3) 最初の１００種類の中で，ステップ数が２で終了解が０であるものは何種類ありますか。
(4) 最初の１００種類の中で，終了解が０であるものは何種類ありますか。
(1) 指定された通りに計算していきます。
６×８＝４８ →４×８＝３２ →３×２＝６ ステップ数３ 終了解６
答 ステップ数３ 終了解６
(2) １００種類の計算のうち積が１けたになる場合を考えます。
０には何をかけても０なので， １０種類
１には何をかけても１けたなので， １０種類
２には０，１，２，３，４をかけたときが１けたなので， ５種類
３には０，１，２，３をかけたときが１けたなので， ４種類
４には０，１，２をかけたときが１けたなので， ３種類
５，６，７，８，９には０，１をかけたときだけ１けたなので， １０種類
よって，
１０＋１０＋５＋４＋３＋１０＝４２
答 ４２種類
(3) １００種類の中で積が２けたで一の位が０になる場合を考えます。
このような整数はすべて５と偶数の積です。積から順に考えます。
積 １０は， ２×５，５×２の２種類
２０は， ４×５，５×４の２種類
３０は， ５×６，６×５の２種類
４０は， ５×８，８×５の２種類
以上で，２種類×４＝８種類 です。
答 ８種類
(4) (2)(3)で書き抜いたものから数えると，
ステップ数１で，終了解０になるのものは， １９種類
ステップ数２で，終了解０になるのものは， ８種類
以下は，２つ前のステップでできた整数２けたが (3)の８種類に限られます。
ステップ数３で，終了解０になるのは，第１ステップでの結果が (2)の２数を十の位，一の位とする
数です。
積 ２５ ５×５
５２ なし
４５ ５×９，９×５
５４ ６×９，９×６
５６ ７×８，８×７
５８ なし
８５ なし
以上７種類です。
ステップ数４で終了解０になるのは，第２ステップでの結果が上の２数を十の位，一の位とする数
です。
積 ５５ なし
５９ なし
９５ なし
６９ なし
９６ なし
７８ なし
８７ なし
ステップ数５以降はありません。
１９＋８＋７＝３４種類
答 ３４種類