入試問題のポイント（算数）
■三角形の面積比の問題
相似な三角形や高さが等しい三角形の面積の関係を使って考える問題です。実践女子の問題の中ではかなり難しいものです。しかし，補助線を引いてから基本的な考え方を正確に使うと解けるので，実力をはかるにはよい問題です。
■問題
次の図のような平行四辺形ＡＢＣＤがあります。この各辺のまん中にそれぞれ点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓをとり，これらを結ぶと平行四辺形ＰＱＲＳができます。ＰＳがＡＱ，ＡＲと交わった点をそれぞれＥ，ＦとするとＰＥ：ＥＳ＝１：２となりました。
次の問いに答えなさい。ただし，答えはすべて最も簡単な整数の比で表しなさい。
(1) 三角形ＰＢＱと三角形ＱＣＲの面積の比を求めなさい。
(2) ＡＥとＡＱの長さの比を求めなさい。
(3) 台形ＥＱＲＦと平行四辺形ＡＢＣＤの面積の比を求めなさい。
■解答
(1) ２点Ｐ，Ｒを結びます。
線分ＰＲと辺ＢＣは平行なので，三角形ＰＢＱと三角形ＱＣＲの高さが等しいことがわかります。
また，ＢＱ＝ＣＱから底辺も等しく，三角形ＰＢＱと三角形ＱＣＲの面積は同じです。
よって，１：１
答 １：１
(2) ２点Ｑ，Ｓを結びます。
線分ＳＱと辺ＡＢは平行なので，三角形ＡＥＰと三角形ＱＥＳは相似です。
また，ＡＢ＝ＱＳなので，
ＡＥ：ＱＥ＝ＡＰ：ＱＳ
＝１：２
よって，
ＡＥ：ＡＱ＝ＡＥ：（ＡＥ＋ＱＥ）
＝１：３
答 １：３
(3) 相似比が１：３なので，相似な２つの三角形ＡＥＦとＡＱＲの面積比は，
（１×１）：（３×３）＝１：９
三角形ＡＱＲは平行四辺形ＡＢＣＤから３つの三角形ＡＢＱ，ＡＤＲ，ＣＱＲを除いて考えることができます。
平行四辺形ＡＢＣＤの面積を１とすると，三角形ＡＢＣの面積は
です。
三角形ＡＢＱ＝三角形ＡＢＣ×
＝×
＝
三角形ＡＤＲ＝三角形ＡＣＤ×
＝×
＝
平行四辺形ＡＢＣＤの面積を１とすると，三角形ＢＣＤの面積もです。
三角形ＣＱＲ＝三角形ＢＣＤ××
＝××
＝
これらから，
三角形ＡＱＲ＝１−×２−
＝
台形ＥＱＲＦ＝×
＝
よって，求める面積比は，
１：＝３：１
答 ３：１