入試問題のポイント（算数）
■立体図形の体積と底面積の関係
立体図形の問題のうち，同じ体積のときの「底面積×深さ＝一定の関係」を考える問題はいろいろな問題が出されます。この問題では相似の考え方なども用いて考えていくとよいでしょう。
■問題
次の図のような，底面が直角二等辺三角形の三角柱の容器があり，水を入れます。そして,水を入れた後に，「あ」が底面になるようにこの容器をたおします。
(1) この三角柱の容器は何ｃm3ですか。
(2) 水を入れてからこの容器を倒したところ，水面の高さが８cmとなりました。容器をたおす前の水面の高さは何cmですか。
(3) 水面の高さが２５cmになるまで水を入れてから，この容器をたおしました。このとき，図の斜線部分「い」の面積は，何ｃm2ですか。
(4) 水面の高さが３０cmになるまで水を入れてから，この容器をたおしました。このとき，水面の高さは何cmですか。
■解答
(1) 「三角柱の体積＝底面積×高さ」です。
（２０cm×２０cm÷２）×４０cm＝２００ｃm2×４０cm
＝８０００ｃm3
答 ８０００ｃm3
(2) 下の図の通り，斜線部（い）も直角二等辺三角形になるので，下の水が入っている部分の面積を求めることができます。
（い）の面積を求めると，
（２０cm−８cm）×（２０cm−８cm）÷２＝７２ｃm2
容器の中の水の体積は，
（２００ｃm2−７２ｃm2）×４０cm＝５１２０ｃm3
これを利用して，
５１２０ｃm3÷２００ｃm2＝２５．６cm
答 ２５．６cm
＊別解
まず，図全体の面積と水が入っている部分の面積の比を考えます。
２０cm：（２０cm−８cm）＝５：３
よって，
（５×５）：（５×５−３×３）＝２５：１６
これから，全体のだけ水が入っていることがわかるので，
４０cm×
＝２５．６cm
(3) 容器全体の深さが４０cmなので，
２５cm÷４０cm＝
２５cmの深さの水は容器の容積のにあたります。
よって，（い）の部分の面積，
２００ｃm2×（１−）＝２００ｃm2×
＝７５ｃm2
答 ７５ｃm2
(4) 容器全体の深さが４０cmなので，
３０cm÷４０cm＝
図の直角二等辺三角形と（い）の部分の面積比は，
１：（１−）＝４：１
これより相似比は２：１
水面の高さは，
２０cm×
＝１０cm
答 １０cm