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入試問題のポイント(算数)

■図形に関する規則性

条件を整理して規則性を見つけて解いていく問題を規則性の問題と言います。この種の問題には,規則を式で表すと考えやすくなるものがあります。

■問題

[   ]にあてほまる式や数を入れなさい。
下の図のような,1辺が1cmの正三角形の紙を何枚か並べて,正六角形を作ります。たとえば,1辺が 1cmの正六角形を作るには,正三角形が6枚必要なことがわかります。
なお,この図から,正六角形の一つの角の大きさは[ ア ]°です。
  
次に,1辺が2cmの正六角形を作るためには,何枚の正三角形が必要かを求めます。下の図の太線部分だけで考えると,1辺が2cmの正三角形を作るとき,4枚の正三角形が必要なことがわかります。したがって,1辺が2cmの正六角形を作るには,4×6で24枚必要です。
  
同じように,1辺が3cmの正六角形を作るためには,太線部分だけで正三角形が[ イ ]枚必要で,正六角形を作るには[ ウ ]枚必要です。
  
このように考えると,1辺がAcmの正六角形を作るとき,必要な正三角形の枚数は,太線部分だけで[ エ ]という式で求められます。したがって,正六角形全体では[ オ ]という式になります。
この結果から,1辺が8cmの正六角形を作るときには,正三角形が[ カ ]枚必要です。
また,正三角形の紙を600枚並べたとき,正六角形の1辺の長さは[ キ ]cmとなります。
               (注)表記の都合で一部の文字を変えてあります。
















■解答

[ ア ] 正六角形の一つの角は正三角形の一つの角2つ分です。
     180度÷3=60度
     60度×2=120度
                                    答 120
[ イ ] 上から3番目の図を見て数えると,9枚だと分かります。
                                    答 9
[ ウ ] 太線部分の正三角形の6つ分にあたるので,
     9枚×6=54枚
                                    答 54
[ エ ] 順に書き出してみると,
     1辺1cm     1枚
     1辺2cm     4枚
     1辺3cm     9枚
    これから,枚数は1辺の長さの2乗になっていることがわかります。
    よって,1辺Acmの場合には,A×A枚
                                    答 A×A
[ オ ] [ エ ]の値の6倍になるので, (A×A)×6=A×A×6
                                     答 A×A×6
[ カ ] [ オ ]の式にあてはめて,
     8×8×6=384枚
                                    答 384
[ キ ] [ オ ]の式にあてはめると,
     A×A×6=600
    この式から,
     A×A=100
    よって,
     A=10
                                    答 10