入試問題のポイント（算数）
■糸の通ったあとの面積
ひもにつないだ牛が草を食べることができる範囲など類題が多数あります。中心角と半径が正しくわかれば特に問題はないでしょう。この学校では変化の様子をグラフに表すことを重視して作問しています。
■問題
次の図１の四角形ＡＢＣＤは，一辺が１cmの正三角形を２つ合わせたひし形です。このひし形の頂点Ｂに長さ４cmの糸ＢＰが結び付けてあり，はじめ３点Ａ，Ｂ，Ｐはこの順に一直線上に並んでいます。円周率を３として，次の各問いに答えなさい。
[1] はじめの位置から糸がたるまないようにして，糸の右はじの点Ｐを反時計回りに回転させて，糸を
このひし形に巻きつけます。その様子を示したのが図２です。
(1) 点Ｐがえがく曲線の長さを求めなさい。
(2) 糸が通過する部分の面積を求めなさい。
[2] 点Ｐがはじめの位置から点Ｂに達するまで，毎秒１cmの速さで動くとき，糸が通過する部分の面積
はどのように変化しますか。その様子をグラフに表しなさい。
■解答
[1] 糸が通ったあとは次のように４つのおうぎ形に分けられます。
１つめは半径４cmで中心角６０度，２つめは半径３cmで中心角１２０度，３つめは半径２cmで中心
角６０度，４つめは半径１cmで中心角１２０度のものです。
(1) 後でグラフを描くときに必要になるので別々に計算します。
４cm×２×３×
＝４cm
３cm×２×３×
＝６cm
２cm×２×３×＝２cm
１cm×２×３×＝２cm
よって，
４cm＋６cm＋２cm＋２cm＝１４cm
答１４cm
(2) こちらも後でグラフを描くときに必要になるので別々に計算します。
４cm×４cm×３×＝８ｃm2
３cm×３cm×３×＝９ｃm2
２cm×２cm×３×＝２ｃm2
１cm×１cm×３×＝１ｃm2
よって，
８ｃm2＋９ｃm2＋２ｃm2＋１ｃm2＝２０ｃm2
答２０ｃm2
[2] 糸が通ったあとの面積変化は４つのおうぎ形ごとに異なります。
それぞれのおうぎ形ごとに点Ｐは孤を描きながら一定の速さで進みます。
「おうぎ形の面積＝孤×半径×
」です。おうぎ形ごとに孤の長さが一定の
割合で増えるので，面積も一定の割合で増えます。
１つめの孤を描き終わるのは，
４cm÷毎秒１cm＝４秒後
この時点の面積は，８ｃm2
２つめの孤を描き終わるのは，
４秒＋６cm÷毎秒１cm＝１０秒
この時点の面積は，８ｃm2＋９ｃm2＝１７ｃm2
３つめの孤を描き終わるのは，
１０秒＋２cm÷毎秒１cm＝１２秒
この時点の面積は，１７ｃm2＋２ｃm2＝１９ｃm2
４つめの孤を描き終わるのは，
１２秒＋２cm÷毎秒１cm＝１４秒
この時点の面積は，１９ｃm2＋１ｃm2＝２０ｃm2<
これらの値を利用してグラフを描くと，次のようになります。
答
