入試問題のポイント（算数）
■三角形の面積比
この種の問題は中学入試で最もよく出される問題の一つです。「高さが等しい三角形どうしの面積比は底辺の比になる」や「相似な三角形どうしの面積比は対応する辺の長さの比（相似比）の２乗の比になる」などを用いて解くものです。
■問題
次の図で，三角形ＡＢＣと三角形ＥＢＦは正三角形であり，四角形ＣＤＥＦは平行四辺形です。三角形ＥＢＦと平行四辺形ＣＤＥＦの面積の比が，１：４のとき，次の問いに答えなさい。ただし，比はもっとも簡単な整数で表しなさい。
(1) ＢＦとＦＣの長さの比を求めなさい。
(2) 三角形ＥＢＦと三角形ＡＥＤの面積の比を求めなさい。
(3) 三角形ＡＥＦの面積が８ｃm2のとき，三角形ＡＥＤの面積を求めなさい。
(4) 三角形ＡＥＤの面積と三角形ＤＢＦの面積が等しくなるように，点Ｄを辺ＡＣにそって移動させまし
た。このとき，ＡＤとＤＣの長さの比を求めなさい。
■解答
(1) 平行四辺形ＣＤＥＦを対角線ＥＣで分けると面積が等しい三角形が２つできます。
三角形ＥＢＦと三角形ＥＦＣの面積の比は，
１：（４÷２）＝１：２
この２つの三角形は高さが等しいので，面積の比は底辺ＢＦとＦＣの比と同じです。
よって，ＢＦ：ＦＣ＝１：２
答 １：２
(2) 三角形ＥＢＦと三角形ＡＥＤはとも正三角形なので，
ＥＢ＝ＢＦ，ＡＥ＝ＥＤ
また，四角形ＣＤＥＦは平行四辺形なので，
ＥＤ＝ＦＣ
これらから，三角形ＥＢＦと三角形ＡＥＤの相似比は，
ＥＢ：ＡＥ＝ＢＦ：ＦＣ
＝１：２
よって面積比は，
（１×１）：（２×２）＝１：４
答 １：４
(3) 三角形ＡＥＦと三角形ＥＢＦは高さが等しく，底辺の比ＡＥ：ＥＢは２：１です。
よって，三角形ＡＥＦと三角形ＥＢＦの面積比も２：１です。
(2) の結果から，三角形ＥＢＦと三角形ＡＥＤの面積比は，１：４
連比をつくって， 三角形ＡＥＦ：三角形ＥＢＦ：三角形ＡＥＤ
２ ： １
１ ： ４
----------------------------------------
２ ： １ ： ４
三角形ＡＥＦと三角形ＡＥＤの面積比は，２：４＝１：２なので，
８×２＝１６ｃm2
答 １６ｃm2
(4) 設問の意味を文字通り「点Ｄだけが動く」と考えるのがふつうですが，もともとの条件文から「点Ｄ
が動くと同時に，点Ｅ・Ｆも動く」と考えることもできます。ともによく出される考え方が使われるの
で両方の解答を示します。
【解答１】
点Ｄだけが動くと考える場合
次の図のように，三角形ＡＥＤの底辺をＡＥとすると高さはＤＧ，三角形ＤＢＦの底辺をＢＦとすると
高さはＤＨになります。
面積が等しい２つの三角形で，底辺の長さの比が２：１なので，高さの比は１：２だとわかります。
三角形ＤＡＧと三角形ＤＣＨは相似で，相似比はＤＧ：ＤＨ＝１：２です。
よって，対応する２辺の比ＤＡ：ＤＣも１：２です。
答 １：２
【解答２】
点Ｄが動くと同時に，点Ｅ・Ｆも動くと考える場合
三角形ＥＢＦと三角形ＤＢＦは底辺が同じで高さも等しいので面積は同じです。
三角形ＡＥＤと三角形ＥＢＦの面積が等しいと考えます。ともに正三角形なので，合同ならば面積が
等しくなります。
よって，ＡＥ：ＥＢ＝１：１
これから，ＡＤ：ＤＣ＝１：１
答 １：１