入試問題のポイント（算数）
■点の移動
速さの問題の応用問題の一つです。ある状態になる時の点の位置を考え，その状態になるまでの時間を考えるのが一般的な問題です。よく出されるので，いろいろなタイプのものを練習しておくとよいでしょう。
■問題
次の図のように，１辺が４８cmの正方形ＡＢＣＤの辺ＡＢ，ＤＣの真ん中の点を，それぞれＥ，Ｆとします。点Ｐは点Ａを出発して毎秒２cmの速さで辺ＡＤ上をくり返し往復します。同様に，点Ｑは点Ｆを出発して毎秒３cmの速さで辺ＦＥ上を，点Ｒは点Ｂを出発して毎秒４cmの速さで辺ＢＣ上を，それぞれくり返し往復します。いま，３点Ｐ，Ｑ，Ｒが同時に出発したとして，次の[ ]に適当な数を入れなさい。
(1) ３点Ｐ，Ｑ，Ｒがはじめてー直線上に並ぶのは，出発してから[ ]秒後です。
(2) はじめて３点Ｐ，Ｑ，Ｒがー直線上に並ぴながら動くのは，出発してから[ア]秒後から[イ]秒後まで
の間です。
■解答
(1) 次の図のように，ＰＲの真ん中の点をＳとし，２点Ｑ，Ｓが重なる時を考えます。
点Ｓは，点Ｅを出発後，２点Ｐ，Ｒの平均の速さで進むことになるので，
点Ｓの速さ：（毎秒２cm＋毎秒４cm）÷２＝毎秒３cm
旅人算の考え方を用いて，
４８cm÷（毎秒３cm＋毎秒３cm）＝８秒
答 ８
(2) 条件の通りになるには，２点Ｑ，Ｓが重なって同じ方向に進む必要があります。
点ＳはＰＲの真ん中の点なので，進む方向だけではなく速さも変わります。
なお，３点Ｐ，Ｑ，Ｒの位置関係は周期的に変わるので，３点すべてが同時に最初の位置に戻るま
でを考えるだけでかまいません。
３点それぞれが最初の位置に戻るまでには，
点Ｐ：９６cm÷毎秒４cm＝２４秒
点Ｑ：９６cm÷毎秒３cm＝３２秒
点Ｒ：９６cm÷毎秒２cm＝４８秒
これらの秒数の最小公倍数９６秒後までで考えることにします。
点Ｓの動く方向は速く動く点Ｒの動く方向と同じです。
また，速さは点Ｐ，Ｒが同じ向きに進むときには(1) の計算から毎秒３cm
反対向きに進むときには，下の図から考えて，
（毎秒４cm−毎秒２cm）÷２＝毎秒１cm
以上から点Ｓの動き方は以下の通りになります。
1.点Ｒが最初に点Ｃに着くまで
０〜１２秒後で，右向きに毎秒３cm
2.点Ｐが最初に点Ｄに着き，同時に点Ｒが最初に点Ｂに戻るまで
１２〜２４秒後で，左向きに毎秒１cm
3.点Ｒが２度目に点Ｃに着くまで
２４〜３６秒後で，右向きに毎秒１cm
4.点Ｐが最初に点Ａに戻り，同時に点Ｒが２度目に点Ｂに戻るまで
３６〜４８秒後で，左向きに毎秒３cm
5.点Ｒが３度目に点Ｃに着くまで
４８〜６０秒後で，右向きに毎秒３cm
6.点Ｐが２度目に点Ｄに着き，同時に点Ｒが３度目に点Ｂに戻るまで
６０〜７２秒後で，左向きに毎秒１cm
7.点Ｒが４度目に点Ｃに着くまで
７２〜８４秒後で，右向きに毎秒１cm
8.点Ｐが２度に点Ａに戻り，同時に点Ｒが４度目に点Ｂに戻るまで
８４〜９６秒後で，左向きに毎秒３cm
点Ｑの動きはそのまま考えて次の通りです。
1.最初に点Ｅに着くまで
０〜１６秒後で，左向きで毎秒３cm
2.最初に点Ｆに戻るまで
１６〜３２秒後で，右向きに毎秒３cm
3.２度目に点Ｅに着くまで
３２〜４８秒後で，左向きで毎秒３cm
4.２度目に点Ｆに戻るまで
４８〜６４秒後で，右向きに毎秒３cm
5.３度目に点Ｅに着くまで
６４〜８０秒後で，左向きで毎秒３cm
6.３度目に点Ｆに戻るまで
８０〜９６秒後で，右向きに毎秒３cm
２点Ｓ，Ｑで進む方向と速さが同じになるのは２度あるのがわかります。
まず，３６〜４８秒後で，左向きに毎秒３cm
次に，４８〜６０秒後で，右向きに毎秒３cm
しかし，この２つは連続した時間なので，答は３６〜６０秒後です。
答 ア：３６ イ：６０