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入試問題のポイント（算数）

■条件整理の問題

問題文で示された手順の通りに考えて解答する問題です。どのようにして条件を単純化するかがポイントになります。

■問題

２つの袋Ｐ，Ｑがあります。Ｐの中には，３０から３９までの整数が１つずつ書いてある１０枚のカードが入っています。Ｑの中には，５０から５９までの整数が１つずつ書いてある１０枚のカードが入っています。Ｐ，Ｑから１枚ずつカードを取り出し，その２枚のカードに書いてある整数の最大公約数を得点とするゲームをします。
[1] このゲームを１回したときの得点として考えられるものを，高い得点から順に４つ書きなさい。

[2] このゲームを１回したときの得点が４点となるのは，どのようなカードを取り出したときですか。
　　考えられる整数の組をすべて答えなさい。
　　たとえば，Ｐから３０，Ｑから５０のカ一ドを取り出したときは，(３０，５０)　　と書きなさい。

[3] Ａ君，Ｂ君，Ｃ君の３人がこのゲームを２回ずつ，合計６回しました。６回とも取り出したカードは袋
　　に戻しません。初めにＡ君が続けて２回，次にＢ君が続けて２回，最後にＣ君が続けて２回ゲーム
　　をしたら，３人の得点は次のようになりました。
　 Ａ君…得点の合計は３１点
　 Ｂ君…２回目の得点は１回目の得点の４倍
　 Ｃ君…得点の合計はＢ君の得点の合計と等しい
　(1) Ａ君はどのようなカードを取り出しましたか。その整数の組を２組とも書きなさい。
　(2) Ｂ君は２回目にどのようなカードを取り出しましたか。その整数の組を書きなさい。
　(3) Ｃ君はどのようなカードを取り出しましたか。その整数の組を２組とも書きなさい。

■解答

[1] 一方の数の約数を書き出し，もう一方の数がどの約数の倍数になっているかを考えていきます。
　　ここでは，まずＰの中の数の約数を求めて，その大きい方から考えていきます。
　　　３０の約数は１，２，３，５，６，１０，１５，３０
　　　　Ｑにある数には，３０の倍数，１５の倍数はない
　　　　　　　　　　　　１０の倍数は５０がある
　　　　　　　　　　　　　６の倍数は５４がある
　　　　　　　　　　　　　５の倍数は５０以外には５５がある
　　　　　　　　　　　　　３の倍数は５４以外には５１，５７がある
　　　　　　　　　　　　　２の倍数は５０，５４以外には５２，５６，５８がある
　　　　　　　　　　　　　１の倍数は残りのすべてである
　　このように考えていくと，カードの組み合わせの得点は次の表の通りになります。

P＼Q	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
30	10	3	2	1	6	5	2	3	2	1
31	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
32	2	1	4	1	2	1	8	1	2	1
33	1	3	1	1	3	11	1	3	1	1
34	2	17	2	1	2	1	2	1	2	1
35	5	1	1	1	1	5	7	1	1	1
36	2	3	4	1	18	1	4	3	2	1
37	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
38	2	1	2	1	2	1	2	19	2	1
39	1	3	13	1	3	1	1	3	1	1

　　よって，大きい順に１９，１８，１７，１３，１１，・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　１９，１８，１７，１３
[2] ２つとも４の倍数なので，２数を　４×Ａ，４×Ｂ　とします。
　　４より大きな公約数が存在しないならば，ＡとＢは互いに素です。
　　　Ｐの中の４の倍数は，３２＝４×８，３６＝４×９
　　　Ｑの中の４の倍数は，５２＝４×１３，５６＝４×１４
　　８と１４は公約数２を持つので互いに素ではありません。
　　よって（３２，５６）以外の組み合わせがあてはまります。
　　　　　　　　　　　　　　　答　（３２，５２），（３６，５２），（３６，５６）
[3] 上の２つの設問でわかった事がらを使います。
　(1) 得点の和が３１になるのは，[1] の表から　１８＋１３　以外にはありません。
　　　よって，[1] の表から（３６，５４），（３９，５２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　（３６，５４），（３９，５２）
　(2) ２回目の得点は必ず４の倍数です。
　　　[1] の表から４の倍数として，４，８ががあります。
　　　　４点の場合，（３２，５２），（３６，５２），（３６，５６）
　　　　８点の場合，（３２．５６）
　　　３６，５２のカードはＡ君が取り出しているので，（３２，５６）です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　（３２，５６）
　(3) Ｂ君の得点合計は，２＋８＝１０　です。
　　　１０になる組み合わせは　１＋９，２＋８，３＋７，４＋６，５＋５　です。
　　　Ａ君，Ｂ君の取り出したカードを除いた表は次の通りです。

P＼Q	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
30	10	3		1		5		3	2	1
31	1	1		1		1		1	1	1
32
33	1	3		1		11		3	1	1
34	2	17		1		1		1	2	1
35	5	1		1		5		1	1	1
36
37	1	1		1		1		1	1	1
38	2	1		1		1		19	2	1
39

　　　この中には４，７，８，９がないので，５＋５　です。
　　　５になるのは，（３５，５０），（３０，５５），（３５，５５）です。
　　　このうち，（３５，５５）を選ぶと，もう１つが決まらないので，他の２つです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　（３５，５０），（３０，５５）

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